搜狗做题网大一高数极限一道证明题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 23:28:09
大一高数极限一道证明题
第7题求详解,只学了数列的极限,函数的极限,无穷大与无穷小,
第7题求详解,只学了数列的极限,函数的极限,无穷大与无穷小,
函数的无界性必须用无界的定义来证明：对任意 M>0,总有足够大的 n,使
(2n+1/2)π > M,
取x0 = 1/(2n+1/2)π ∈ (0, 1],则有
(1/x)sin(1/x) = [(2n+1/2)π]sin[(2n+1/2)π] = [(2n+1/2)π] > M,
据函数无界的定义可知该函数在(0, 1]无界.
其次,证明该函数在x→0+时非无穷大.事实上,取数列 x(n) = 1/(2nπ) ∈ (0, 1],有
x(n)→0+,
但
[1/x(n)]sin[1/x(n)] = (2nπ)sin(2nπ) = 0 → 0 (n→∞),
可知该函数在x→0+时非无穷大.
再问： 当n非整数时sin(2nπ) 怎么会等于0？sin[(2n+1/2)π=cos(2nπ)怎么会等于1？
再答： 这里的 n 都取自自然数。
再问： 为什么呢，n取非自然数与题意不符吗？还是题目有要求n必为非自然数？ 对不起我问题有点多，表达上可能也不太好
再答： 这是我取的数列，当然 n 得是自然数。
再问： 虽然我还是不懂为什么可以忽略n为非自然数的情况 但就这样吧
再答： 要说明否定的结论，只需举出例外的即可，该数列 x(n) 就是例外。
(2n+1/2)π > M,
取x0 = 1/(2n+1/2)π ∈ (0, 1],则有
(1/x)sin(1/x) = [(2n+1/2)π]sin[(2n+1/2)π] = [(2n+1/2)π] > M,
据函数无界的定义可知该函数在(0, 1]无界.
其次,证明该函数在x→0+时非无穷大.事实上,取数列 x(n) = 1/(2nπ) ∈ (0, 1],有
x(n)→0+,
但
[1/x(n)]sin[1/x(n)] = (2nπ)sin(2nπ) = 0 → 0 (n→∞),
可知该函数在x→0+时非无穷大.
再问： 当n非整数时sin(2nπ) 怎么会等于0？sin[(2n+1/2)π=cos(2nπ)怎么会等于1？
再答： 这里的 n 都取自自然数。
再问： 为什么呢，n取非自然数与题意不符吗？还是题目有要求n必为非自然数？ 对不起我问题有点多，表达上可能也不太好
再答： 这是我取的数列，当然 n 得是自然数。
再问： 虽然我还是不懂为什么可以忽略n为非自然数的情况 但就这样吧
再答： 要说明否定的结论，只需举出例外的即可，该数列 x(n) 就是例外。