求证明一道勒贝格积分(上极限)(n→+∞)lim n ∫ ( f(x) - f(a) ) dx = f(a+0)-f(a

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 13:42:22

求证明一道勒贝格积分
(上极限)(n→+∞)lim n ∫ ( f(x) - f(a) ) dx = f(a+0)-f(a),其中f(x)为增函数.求具体证明过程,要求每一步都要写出所用的主要定理或定义.

你这道题肯定缺少条件,
目测是积分区域没写清楚.
不难证明n·∫[a,a+1/n] (f(x)-f(a)) dx收敛到f(a+0)-f(a).
不过这么一改可能太简单了.
还是等你把题目补充完整吧.
再问：不好意思，确实是忘了写积分区域了，就是你说的这个，不过这个具体要怎么证明啊，大概的步骤我也清楚，但是一具体到每步就有些地方不会证明啊
再答：由f(x)是增函数, lim{x → a+} f(x) = f(a+0),
可得f(x) ≥ f(a+0)对任意x > a成立.
(否则由极限保序性可推出矛盾).
另一方面, 仍由f(x)是增函数,
在[a,a+1/n]上成立f(x) ≤ f(a+1/n).
于是在在(a,a+1/n]上成立:
f(a+0)-f(a) ≤ f(x)-f(a) ≤ f(a+1/n)-f(a),
在[a,a+1/n]几乎处处成立.

左右两端是常数, 易知其在[a,a+1/n]上的积分,
分别为(f(a+0)-f(a))/n与(f(a+1/n)-f(a))/n.
由积分保序性,
(f(a+0)-f(a))/n ≤ ∫[a,a+1/n] (f(x)-f(a)) dx ≤ (f(a+1/n)-f(a))/n,
即f(a+0)-f(a) ≤ n·∫[a,a+1/n] (f(x)-f(a)) dx ≤ f(a+1/n)-f(a).
对n → ∞取极限, 易知左右两端均收敛到f(a+0)-f(a).
于是由夹逼定理即得:
n·∫[a,a+1/n] (f(x)-f(a)) dx收敛到f(a+0)-f(a).

求极限的推导lim[f(a+1/n)/f(a)]^n = exp{[f(a+1/n)/f(a)-1]*n}请问上式子等号设f'(x)在[a,b]上连续,证明:lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=0 证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx 设f(x)在x=a处可导,f(a)>0,求N趋近于正无穷时lim{f(a+1/n)/f(a)}的N次方. 求极限lim[f(a+1/n)/f(a)],n趋向无穷设函数f(x)在对称区间【-a,a】上连续,证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx 设f(a)＝0①lim(n→+∞) n{f[a+(1/n)]}＝A②lim(h→0) {[f(a+h)-f(a-h)]/ 设函数fx在点x=a可导,f(a)>0,试求极限lim(f(a+1/n)/f(a))的n次方（n趋向于无穷）设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx| 问一道考研数学题已知f（x）在（-∞,+∞）内可导,证明：lim(a→0+) {[f(2a)-f(-2a)]/4a}= 已知a>0,且a≠1函数f(x)=loga(1-a^x) 若n属于n*,求lim n→∞ (a^f(n) )/ (a^n 如果极限lim(x→a) f(x)-b/(x-a)=A,求极限