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如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C．的垂线交CC1于E，

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/16 05:13:50
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C．的垂线交CC1于E，交B1C于F．（I�
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C．
的垂线交CC1于E，交B1C于F．
（I）求证：A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C．的垂线交CC1于E，
法一：（I）证明：连接AC，由底面ABCD为正方形，得AC⊥DB．
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C，且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD

（Ⅱ）连接DF，A1D∵EF⊥B1C，EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1，BB1=2
可知B1C＝
5，BF＝
2
5
5，B1F＝
4
5
5，CF＝

5
5
EF＝
FC?BF
B1F＝

5
10，EC＝
FC?BB1
B1F＝
1
2
∴ED＝
EC2+CD2＝

5
2∴sinEDF＝
EF
ED＝
1
5

解法二：（I）证明：如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则∵

A1C?

BE＝1×0+1×1+(?2)×
1
2＝0，

A1C?

DE＝1×1+1×0+(?2)×
1
2＝0
∴

A1C⊥

BE，

A1C⊥

DE，
即A1C⊥BE，A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）设平面A1B1C的一个法向量为

m=（x，y，z）
则

A1B1?m＝0
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F （2008•宣武区一模）如图，已知长方体AC1中，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于 已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB＝2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2.求异面直线B1C与A1C 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE＝14CC1． 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,且AB=1,BC=2,AA1=2.求直线B1C与平面B1BD 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=12AB=1． 如图，在正方形ABCD中、G是BC上的一点、连接AG、作AG的垂线EF交AB于E点、交CD于F点、已知AG=10cm．求 已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°．点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,求异面直线B1C和A1B所成角的余弦值 长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C所成角的大小（　　）