设f:x->y,g:y->x,设g.f为x上恒等的函数,证明:f是单射,g是满射
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 20:50:42
设f:x->y,g:y->x,设g.f为x上恒等的函数,证明:f是单射,g是满射
用反证法证明.
先证f是单射.(回顾单射的定义:X的不同点的像一定不同).用反证法.假设f不是单射,即有两个X上的不同点的像相同,即存在x1,x2两个不同点,它们都被f映成y.可是g再把y映回来的时候,只能映为x1或者x2或者其他一个什么点,即g.f不可能是恒等函数了:具体来说,分类讨论,(1)假如g.f(x1)=x1,即g(y)=x1,那么因为g是映射,所以g(y)不可能是x2,即g.f(x2)不是x2,说明g.f不是恒等函数 (2)假如g.f(x1)不等于x1,那g.f就地就不是恒等函数了.
2.再证g是满射.(回顾满射的定义:被映到的集合中的每个元素都有原像,即被映到的集合被映“满”了.)具体到此题中,是想证明对X当中的任何一个元素x,都存在y使得g(y)=x.用反证法证明.假设g不是满射,即X当中存在这样一个元素x0,Y中没有一个元素能被g映成x0.则矛盾立即得出:这个x0不可能经过g.f的复合映射之后变回自己,因为到了g这一层映射之后,x0根本不是像点.这样g.f(x0)不等于x0,即g.f不是恒等函数.
先证f是单射.(回顾单射的定义:X的不同点的像一定不同).用反证法.假设f不是单射,即有两个X上的不同点的像相同,即存在x1,x2两个不同点,它们都被f映成y.可是g再把y映回来的时候,只能映为x1或者x2或者其他一个什么点,即g.f不可能是恒等函数了:具体来说,分类讨论,(1)假如g.f(x1)=x1,即g(y)=x1,那么因为g是映射,所以g(y)不可能是x2,即g.f(x2)不是x2,说明g.f不是恒等函数 (2)假如g.f(x1)不等于x1,那g.f就地就不是恒等函数了.
2.再证g是满射.(回顾满射的定义:被映到的集合中的每个元素都有原像,即被映到的集合被映“满”了.)具体到此题中,是想证明对X当中的任何一个元素x,都存在y使得g(y)=x.用反证法证明.假设g不是满射,即X当中存在这样一个元素x0,Y中没有一个元素能被g映成x0.则矛盾立即得出:这个x0不可能经过g.f的复合映射之后变回自己,因为到了g这一层映射之后,x0根本不是像点.这样g.f(x0)不等于x0,即g.f不是恒等函数.
证明设f:X→Y,g:Y→X,若对任意x属于X,必有g[f(x)]=x,则f是单射,g是满射
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设f(x),g(x)为数域f上的不全为零多项式.证明[f(x),g(x)]=[f(x),f(x)+g(x)]
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定积分的证明设y=f(x)及y=g(x)在[a,b]上连续.证明: (∫f(x)g(x)dx)^2=0左端的被积函数展开
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