设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 22:55:41
设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围
这个方法挺简单,但要用到二阶导.
f(x)≤ax²-ax+4等价于xlnx≤ax²-ax.等价于lnx≤a(x-1).(因为x≥1)
当x=1时,上式即为0≤0,恒成立.
当x>1时,x-1>0,上式即为a≥lnx/(x-1),只要求右边的最大值就行.
把右边记作函数g(x),求导得g'(x)=(1-1/x-lnx)/(x-1)²,分母恒为正,要研究g'(x)的正负,只需研究分子.
把分子记作h(x),求导得h'(x)1+1/x²-1/x>0.(因为x>1)
所以h(x)当x>1时单调增,所以h(x)>h(1)=0.
所以g'(x)的分子恒为正,所以g'(x)>0,所以g(x)在当x>1时单调增,所以g(x)的最大值不存在,当x趋于正无穷时,g(x)趋于0,所以a≥0.
综上,a≥0.
虽然看起来有点繁琐,但思路简单,想清楚就行了.
f(x)≤ax²-ax+4等价于xlnx≤ax²-ax.等价于lnx≤a(x-1).(因为x≥1)
当x=1时,上式即为0≤0,恒成立.
当x>1时,x-1>0,上式即为a≥lnx/(x-1),只要求右边的最大值就行.
把右边记作函数g(x),求导得g'(x)=(1-1/x-lnx)/(x-1)²,分母恒为正,要研究g'(x)的正负,只需研究分子.
把分子记作h(x),求导得h'(x)1+1/x²-1/x>0.(因为x>1)
所以h(x)当x>1时单调增,所以h(x)>h(1)=0.
所以g'(x)的分子恒为正,所以g'(x)>0,所以g(x)在当x>1时单调增,所以g(x)的最大值不存在,当x趋于正无穷时,g(x)趋于0,所以a≥0.
综上,a≥0.
虽然看起来有点繁琐,但思路简单,想清楚就行了.
设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围
设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2若当x≥o时f(x)≥o,求a的取值范围
2.已知函数f(x)=x²+ax+3,当 x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时,f(x)>=0,求a的取值范围
求a的取值范围,设f(x)=x²-2ax+2.当x∈[1,+∞ )时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围
设函数f(x)=xe∧x,g(x)=ax∧2+x.若当x≥0时 恒有f(x)≥g(x),求a的取值范围
已知函数F(x)=xlnx.(1).求F(x)的最小值 (2).若对所有X≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=xlnx 1.求f(x)最小值 2.若对所有x=1都有f(x)≥ax-1求实数a的取值范围
函数f(x)=x的平方+ax+3.当a属于【4,6】时,f(x)≥0恒成立,求x的取值范围
已知函数f(x)=xlnx,若f(x)>=ax-1对任意x>0恒成立,则a的取值范围 A a=1
设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.