设A为n阶方阵,证：R（A的n次方）=R（A的n+1次方）（n为自然数）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 03:29:04

设A为n阶方阵,证：R（A的n次方）=R（A的n+1次方）（n为自然数）
在网上实在找不到解答,

证明A^(n+1)·x=0和A^n·x=0同
如果A非奇异则显然成立,否则利用
n-1 >= rank(A) >= rank(A^2) >= ... >= rank(A^n) >= rank(A^(n+1)) >=0
中间一定有两个相邻的项相等,即A^k·x=0和A^(k+1)·x=0同解,
从而A^(n+1)·x=0和A^n·x=0同解.
从A^k x=0和A^(k+1)x=0同解 => A^{n+1}x=0和A^n x=0同解我没仔细想是怎么做的
印象中具体证的时候应该是分两步,1、A^n·x=b的解是A^(n+1)·x=Ab的解,这显然成立；
2、A^(n+1)·x=Ab的解是A^n·x=b的解,这一步我不记得了,不过文登考研题复习资料上有的.
刚找到一个pdf文件上面的例5,自己看吧.
http://course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/gdds/jcfdPDF/jc06.pdf

设A为n阶方阵,证：R（A的n次方）=R（A的n+1次方）（n为自然数）设A为n阶（n≥2）方阵,证明r(A*)= n ,r(A)=n r(A*)= 1,r(A)=n-1 r(A*)= 0,r 设A为n阶方阵,A的秩R（A）=r小于n,那么在A的n个列向量中, （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 设A为n阶方阵,AA=A ,证明R（A）+R（A-E）=n （a-b）n次方×（b-a)n次方的值,n为自然数设A为N阶方阵,A的m次方=0,m是自然数,则A的特征值为线性代数中秩的证明设A为n阶方阵,且A^2=A,若R(A)=r,证明：R（A-E）=n-r..其中E为n阶单位阵设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,证明：n,r(A)=n r(A*)= 1,r(A)=n-1 0,r(A) 线性代数题设A是n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,试证：R（A*）=n 当R(A)=n时1 当R(A)=n-1时0 当R(A 设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n-1)次方线性代数问题n阶方阵A,A*为A的伴随矩阵,求证1：当r（A）=n-1时,r（A*）=1；2：当r（A）＜n-1时,r（