设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/03 05:30:17
设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续
我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,高手指点
我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,高手指点
个人认为没必要先证limf(x)存在,将其作为一致连续性的推论更合适(用Cauchy收敛准则).
f'(x)在(0,1]连续,lim(√x)f'(x)存在,可得(√x)f'(x)在(0,1]有界,设有|(√x)f'(x)| < M.
对任意a,b∈(0,1],a < b,在[a,b]上对f(x)与√x使用Cauchy中值定理得:存在c∈(a,b)使
(f(a)-f(b))/(√a-√b) = f'(c)/(1/(2√c)) = 2(√c)f'(c).
于是|f(a)-f(b)| = 2(√c)f'(c)|√a-√b| < 2M|√a-√b|.
又√x在[0,1]连续故一致连续:对任意ε > 0,存在δ > 0使当|a-b| < δ时有|√a-√b| < ε/(2M).
则|a-b| < δ时,|f(a)-f(b)| < 2M|√a-√b| < ε.
即我们证明了f(x)一致连续.
其实微调一下证法,命题的条件可以减弱为f(x)在(0,1]连续,在某个(0,δ)内可导且(√x)f'(x)有界.
f'(x)在(0,1]连续,lim(√x)f'(x)存在,可得(√x)f'(x)在(0,1]有界,设有|(√x)f'(x)| < M.
对任意a,b∈(0,1],a < b,在[a,b]上对f(x)与√x使用Cauchy中值定理得:存在c∈(a,b)使
(f(a)-f(b))/(√a-√b) = f'(c)/(1/(2√c)) = 2(√c)f'(c).
于是|f(a)-f(b)| = 2(√c)f'(c)|√a-√b| < 2M|√a-√b|.
又√x在[0,1]连续故一致连续:对任意ε > 0,存在δ > 0使当|a-b| < δ时有|√a-√b| < ε/(2M).
则|a-b| < δ时,|f(a)-f(b)| < 2M|√a-√b| < ε.
即我们证明了f(x)一致连续.
其实微调一下证法,命题的条件可以减弱为f(x)在(0,1]连续,在某个(0,δ)内可导且(√x)f'(x)有界.
设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续
设函数f(x)在(01]上连续,且极限lim->0+f(x)存在,证明函数f(x)在(0,1]上有界
设函数f(x)在点x=0的邻域内连续,极限A=lim((3f(x)-2)/x+ln(1+x)/x^2))其中x趋向于0,
lim(x趋向于0) f(x)-f(-x)/x 存在 且函数在x=0出连续,为什么f(0)=0?
设f(0)=0,f'(x)在x=0的领域内连续,又f'(x)≠0证明:lim(x趋向0)x^f(x)=1
已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明(1)在(0,1)内至少存在一点ξ,
设f(x)在x=0处连续,且lim(x趋于0)f(x)/x存在,证明,f(x)在x=0处可导
证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.
设函数f(x)在x=0处连续,若x趋向于0时limf(x)/x存在
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点&,
设f(x)在x=0处连续,且x趋近于0时f(x)/x极限存在,证明f(x)在x=0处连续可导
lim(x趋向于0)f(2x)/x=1,且f(x)连续,则f'(0)=