求∫√ 4+x²dx=多少
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 20:55:18
求∫√ 4+x²dx=多少
![求∫√ 4+x²dx=多少](/uploads/image/z/2380069-37-9.jpg?t=%E6%B1%82%E2%88%AB%E2%88%9A+4%2Bx%26%23178%3Bdx%3D%E5%A4%9A%E5%B0%91)
方法一:三角代换
∫√(4+x²) dx
令x=2tanu,则√(4+x²)=2secu,dx=2sec²udu
=∫2secu*2sec²u du
=4∫sec³u du
下面计算:
∫sec³u du
=∫secu d(tanu)
分部积分
=secutanu-∫tan²usecu du
=secutanu-∫(sec²u-1)secu du
=secutanu-∫sec³u du+∫secu du
=secutanu-∫sec³u du+ln|secu+tanu|
将-∫sec³u du移到左边与左边合并后,除以系数得:
∫sec³u du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
换回变量
=(1/8)x√(4+x²)+(1/2)ln(√(4+x²)+x)+C
因此原式=4∫sec³u du=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
方法二:分部积分
∫√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫x²/√(4+x²) dx 注意:√(4+x²)求导为x/√(4+x²)
=x√(4+x²)-∫(x²+4-4)/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4∫1/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4ln(√(4+x²)+x)
将-∫√(4+x²) dx移到左边与左边合并,得:
∫√(4+x²) dx=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
∫√(4+x²) dx
令x=2tanu,则√(4+x²)=2secu,dx=2sec²udu
=∫2secu*2sec²u du
=4∫sec³u du
下面计算:
∫sec³u du
=∫secu d(tanu)
分部积分
=secutanu-∫tan²usecu du
=secutanu-∫(sec²u-1)secu du
=secutanu-∫sec³u du+∫secu du
=secutanu-∫sec³u du+ln|secu+tanu|
将-∫sec³u du移到左边与左边合并后,除以系数得:
∫sec³u du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
换回变量
=(1/8)x√(4+x²)+(1/2)ln(√(4+x²)+x)+C
因此原式=4∫sec³u du=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
方法二:分部积分
∫√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫x²/√(4+x²) dx 注意:√(4+x²)求导为x/√(4+x²)
=x√(4+x²)-∫(x²+4-4)/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4∫1/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4ln(√(4+x²)+x)
将-∫√(4+x²) dx移到左边与左边合并,得:
∫√(4+x²) dx=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C