一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n）+（4k+3）,这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/30 04:11:27

一道很难的奥数题.
记S=(1×2×3×…×n）+（4k+3）,这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.

任何正整数数不是奇数就是偶数,也就是正整数可以表示为
{Z | Z = 2T 或 Z = 2T - 1 (T属于正整数)}
因此Z的平方
Z^2 = (2T)^2 = 4*T^2
或
Z^2 = (2T - 1)^2 = 4*T^2 - 4T + 1 = 4(T^2 - 1) + 1
即有：任何正整数的平方数被4除的余数仅有0、1这两种.
对S = N!+ (4K + 3)来说
当N≥4时,N!必能被4整除（因含因数4）,S必为被4除余3的数,根据上面推导,S必不可能为某一正整数的平方.
因此仅存N = 3的情况.当N = 3时,
S = 1×2×3 + 4K + 3 = 9 + 4K
1 ≤ K ≤ 100
13 ≤ S ≤ 409
在此范围内的完全平方数有4^2 = 16、5^2 = 25……、20^2 = 400
这 20 - 4 + 1 = 17 个.按这些平方数求出K 即可.

一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n）+（4k+3）,这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同已知函数sum（k,n）=1^k+2^k+3^k…+n^k.计算当k=2,n=5时的结果. 用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，则当n=k+1 关于数学归纳法数学归纳法是这样的：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值,k为自然数） s=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n>=3,1 求最大的正整数k使得存在正整数n满足2^k整除3^n+1 已知数列bn的前n项和Sn=n(3n-9)/2,若对任意正整数n,有k乘3的n次方≥bn,则实数k的取值范围是定义一种对正整数n的"F"运算1.当n为奇数时,结果为3n+5；2.当n为偶数时,结果为n/2k（2的k次方）（其中k是当k取何值时,方程（k2-1）x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根(初三数学）当k取何值时,方程（k2-1）x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根? 定义一种对正整数n的“ F运算”：（1）当n为奇数是,记过为3n+5;(2)当n为偶数时,结果为n/（2的k次方)"其中计算s=1k+2k+3k+……+N k