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如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 04:56:14
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2
  (1)求证:PA∥平面QBC;
(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
 
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2
(1)求证:PA∥平面QBC;
证明:∵PA⊥平面ABC
              平面QBC⊥平面ABC
              PA不属于平面QBC
          ∴PA∥平面QBC

(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.

作AD⊥BC于D,连接PD、QD
       ∵平面QBC⊥平面ABC
           平面QBC∩平面ABC=BC

       ∴AD⊥QD
       ∵PA⊥平面ABC
       ∴PA⊥AD
       ∴∠PDA+∠DPA=90°

       ∵AQ⊥平面PBC
       ∴AQ⊥PD
       ∴∠PDA+∠QAD=90°
       ∴∠QAD=∠DPA
       ∴⊿QAD∽⊿DPA
       ∴AQ=AD•PD/PA
       ∵PA=AB=AC=√2
          ⊿ABC是直角三角形
        ∴△PBC是等腰三角形
        ∴PD⊥BC

        ∴BC=2
        ∴AD=1
           PD=√3
        ∴AQ=√6/2
        ∴S△PBC=2×√3÷2=√3
        ∴ 多面体PQABC的体积=√3×√6/2÷3=√2/2