f(x)在[-l,l]上连续且Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt , (-l≤x≤l),若f(x)为偶函数,证明Φ(x)

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 22:16:07

f(x)在[-l,l]上连续且Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt , (-l≤x≤l),若f(x)为偶函数,证明Φ(x)在[-l,l]上为奇函数.
用其他字母换 t 那一部分请写详细,我有点弄不清那个上下限的互换的公式

先说明Φ(x)在[-l,l]上有意义,因为积分范围是(0,x)包含于[-1,1]
所以f(x)在每一个x∈[-1,1]有意义,f在此区间连续,所以Φ(x)在[-l,l]上是有定义的
其次即需证Φ(-x)=-Φ(x)
而已知f(-x)=f(x)
Φ(-x)=∫(0,-x)f(t)dt
令s=-t
t=-s
所以
dt=-ds
f(t)=f(-s)=f(s)
上下限原来是(0,-x)
现在都取负号
即
(0,x)
所以
Φ(-x)=∫(0,x)f(s)(-ds)
=-∫(0,x)f(s)ds
把积分变量换成t不影响积分
=-∫(0,x)f(t)dt
=-Φ(x)
所以Φ(x)在[-l,l]上为奇函数
再问：为啥令t=-s后上下限都取负号了啊？
再答：因为你换变量了啊，原来指的是t的范围现在你用s来积分，当然需要放s的范围，而s=-t,所以就是上下限都乘-1

f(x)在[-l,l]上连续且Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt , (-l≤x≤l),若f(x)为偶函数,证明Φ(x) 设f(x)在[-a,a]上连续,且为偶函数,φ(x)=∫(0->x)f(t)dt,则φ(x)是偶函数还是奇函数设f(x)为定义在(-L,L)上的奇函数,若f(x)在(0,L)上单增,证明：f(x)在(-L,0)上也单增设函数f（x）定义在(-l,l)上,证明：f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数 f(x)为偶函数,证明F(x)=∫[0,x](2t-x)f(t)dt也为偶函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b) 内可导,且 f '(x)≤0,F(x)=1/(x-a)∫(x-a)f(t)dt f(x)在(－∞,＋∞）上连续且是偶函数,F（x)=∫[0,x](x-2t)f(t)dt 试证F(x)为偶函数(解答过程 f(x)在(－∞,＋∞）上连续且是偶函数,F（x)=∫[0,x}(x-2t)f(t)dt 试证：F（x)为偶函数,求过程设函数f(x)在负无穷到正无穷内连续,且F(x)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt,证明若fx为偶函数,则Fx也是偶证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=∫(x,a)f(t)dt,则f(x)≡0. f(x)在[a,+无穷)内可导,且lim[f(x)+kf'(x)]=l(x→∞)(k>0).证明:limf(x)=l,l 设函数f(x)定义在（-l,l）上,证明：f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)是奇函数