直线和圆的方程问题!已知直线L过点p(-2,1)且斜率为k(k大于1),如图所示,将直线L绕点按逆时针方向旋转45度得直
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/15 01:39:03
直线和圆的方程问题!
已知直线L过点p(-2,1)且斜率为k(k大于1),如图所示,将直线L绕点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线L和直线m分别于y轴交与Q,P两点,问是否存在实数k,使三角形PQR的面积最小?若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(图我怎么也弄不上,就出来了)
已知直线L过点p(-2,1)且斜率为k(k大于1),如图所示,将直线L绕点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线L和直线m分别于y轴交与Q,P两点,问是否存在实数k,使三角形PQR的面积最小?若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(图我怎么也弄不上,就出来了)
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设直线l的倾斜角为 a,则直线m的倾斜角为a+45 .
Km=tan(a+45)=(1+tana)/(1-tana)=(1+k)/(1-k)
∴直线l的方程为
y-1=k*(x-2) ,
直线m的方程为
y-1=(1+k)/(1-k)*(x-2)
令x=0得 ,
yQ=2k+1
yR=(3+k)/(1-k)
S三角形PQR =1/2|yQ-yR|*|xP|
=|2(k^2+1)/(1-k)|
∵k>1 ,
∴ S三角形PQR =|2(k^2+1)/(1-k)|
=2(k^2+1)/(k-1)
=2[(k-1)+2/(k-1)+2]>=4(√2+1)
由 k-1=2/(k-1)得
k=√2+1 (k=1-√2舍掉),
∴当k=√2+1 时△PQR的面积最小,最小值为4(√2+1) .
此时直线l的方程是(√2+1)x-y+2√2+3=0.
Km=tan(a+45)=(1+tana)/(1-tana)=(1+k)/(1-k)
∴直线l的方程为
y-1=k*(x-2) ,
直线m的方程为
y-1=(1+k)/(1-k)*(x-2)
令x=0得 ,
yQ=2k+1
yR=(3+k)/(1-k)
S三角形PQR =1/2|yQ-yR|*|xP|
=|2(k^2+1)/(1-k)|
∵k>1 ,
∴ S三角形PQR =|2(k^2+1)/(1-k)|
=2(k^2+1)/(k-1)
=2[(k-1)+2/(k-1)+2]>=4(√2+1)
由 k-1=2/(k-1)得
k=√2+1 (k=1-√2舍掉),
∴当k=√2+1 时△PQR的面积最小,最小值为4(√2+1) .
此时直线l的方程是(√2+1)x-y+2√2+3=0.
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