搜狗做题网有关欧氏空间的一道线性代数题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 05:22:05
有关欧氏空间的一道线性代数题
设V是一个欧氏空间(n维实内积空间),f:v->v是一个映射.如果对任意的a,b属于V,有(f(a),f(b))=(a,b),那么f是V->V上的一个线性映射.
问:上述命题正确吗?如果正确,给出证明,如果不正确,举出反例.
请写出
(f(kx)-kf(x),f(kx)-kf(x))=0
(f(x+y)-[f(x)+f(y)],f(x+y)-[f(x)+f(y)])=0
的证明方法,这个才是难点.
设V是一个欧氏空间(n维实内积空间),f:v->v是一个映射.如果对任意的a,b属于V,有(f(a),f(b))=(a,b),那么f是V->V上的一个线性映射.
问:上述命题正确吗?如果正确,给出证明,如果不正确,举出反例.
请写出
(f(kx)-kf(x),f(kx)-kf(x))=0
(f(x+y)-[f(x)+f(y)],f(x+y)-[f(x)+f(y)])=0
的证明方法,这个才是难点.
结论是对的.
首先注意到(f(x),f(x))=(x,x)>=0,所以以下条件等价
1.x=0
2.f(x)=0
3.(f(x),f(x))=0
然后就利用这一性质来证明线性性.
只需验证：
(f(kx)-kf(x),f(kx)-kf(x))=0
(f(x+y)-[f(x)+f(y)],f(x+y)-[f(x)+f(y)])=0
按照内积的定义展开并去掉f即可,我不写了.
补充：
既然要点都告诉你了,后面应该没有困难才对,如果你认为后面是难点,那么你就需要引起重视了.
首先注意到(f(x),f(x))=(x,x)>=0,所以以下条件等价
1.x=0
2.f(x)=0
3.(f(x),f(x))=0
然后就利用这一性质来证明线性性.
只需验证：
(f(kx)-kf(x),f(kx)-kf(x))=0
(f(x+y)-[f(x)+f(y)],f(x+y)-[f(x)+f(y)])=0
按照内积的定义展开并去掉f即可,我不写了.
补充：
既然要点都告诉你了,后面应该没有困难才对,如果你认为后面是难点,那么你就需要引起重视了.