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已知数列an,bn中,a1=0,b1=1,且当n为正整数时,an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/31 10:27:10
已知数列an,bn中,a1=0,b1=1,且当n为正整数时,an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列。
1.\x09求数列an,bn的通项公式
2.\x09求最小自然数k,使得当n≥k时,对任意实数p∈【0,1】,不等式(2p-3)bn≥(2p-4)an+(p-3)恒成立
3.\x09设dn=1/√b1+1/√b2+••••••+1/√bn(n为正整数),求证:当n≥2都有dn^2>2(d2/2+d3/3+••••••+dn/n)
已知数列an,bn中,a1=0,b1=1,且当n为正整数时,an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等
1、数学归纳法证明an=n(n-1),bn=n^2;
2、代入bn an的表达式化简得(2n-1)p+n^2-4n+3>=0,要求对所有的p成立,此表达式是关于p的一次函数,只要在两个端点成立即可,即p=0 p=1时不等式成立就行,因此有n^2-4n+3>=0,n^2-2n+2>=0,于是n>=3.取k=3就可以.
3、dn=1/1+1/2+...+1/n,注意到1/2^2+1/3^2+...+1/n^21/2^2+...+1/n^2,打开得d2^2>2(d2/2)+1/3^2+...+1/n^2,即(d3-1/3)^2>2(d2/2)+1/3^2+...+1/n^2,打开得d3^2>2(d2/2+d3/3)+1/4^2+...+1/n^2,继续下去得(dn-1/n)^2>2(d2/2+...+d(n-1)/(n-1))+1/n^2,打开就是dn^2>2(d2/2+...+dn/n)