已知在平面直角坐标系中,直线AB分别于x轴的正半轴,y轴的正半轴交与点A、点B,OA=3,OB=√3,将△AOB沿直线A

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/12 07:28:16

已知在平面直角坐标系中,直线AB分别于x轴的正半轴,y轴的正半轴交与点A、点B,OA=3,OB=√3,将△AOB沿直线AB翻折,点O的对应点C恰好落在双曲线y=k/x（k＞0）上.
（1）求k的值
（2）如果将△ABC绕AC的中点旋转180°得到△PCA.

请直接写出点p的坐标

判断点p是否在双曲线y=k/x上,并予以证明.

思路：
C·O关于直线AB对称,AB垂直平分CO
∠OAB=30°,∠AOC=60°,求出C点的坐标,待定系数法求k
求出M坐标,180°,四边形PABC是平行四边形
设P（m,n）,m=9/2,n=√3/2,代入y=k/x,求出k
（1）∵OA=3,BO=√3
将△AOB沿直线AB翻折,点O的对称点C恰好落在双曲线上
所以AB垂直平分OC
∵OA=3,OBO=√3
所以tan∠OAB=√3/3(三角函数定义）
所以∠OAB=30°（特殊三角函数值）
∵AB⊥OC ∠OAB=30°
所以∠AOC=60°
∵将△AOB沿直线AB翻折,得到ACB
所以∠CAB=∠OAB=30° ∠AOC=∠ACO=60°
所以∠OAC=60°
∵∠AOC=∠ACO=60° ∠OAC=60°
所以AOC是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）
易得C点坐标（3/2,（3·√3）/2）
由于点C在双曲线y=k/x,C点坐标代入,得
（3·√3）/2=k/3
解得k=（9·√3）/4
（2）设AC的中点为M
∵A（3,0） C点坐标（3/2,（3·√3）/2）
所以AC中点的坐标为（9/4,（3·√3）/4）
由于△ABC绕M旋转180°得到△PCA
故四边形PABC为平行四边形
P·B关于M对称,设P（m,n）
则m=9/4x2-0=9/2,n=(（3·√3）/4)x2-√3=√3/2
故P点的坐标为（9/2,√3/2）
将P点坐标代入y=k/x,得
k=（9·√3）/4
故点P在双曲线上