竞赛题 已知角1=12° 角2=24° 角3=36° 角4=48° 求角5
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 01:44:09
竞赛题 已知角1=12° 角2=24° 角3=36° 角4=48° 求角5
已知角1=12° 角2=24° 角3=36° 角4=48° 求角5 好像是两个等腰三角形 然后就不会了..
你学了正余弦定理没?我的方法超级复杂,如果你没学过,那就是应该有比较简单的方法的,我要再想想.
再问: 我学了… 你说吧
再答: 设AC,BD交于点O, AD=AC=L, DC=m, AB=a, BC=b, AO=y, OB=x,现要求∠5据题意,∠1=12°,∠2=24°,etc.,所以我用数字代表该角等于12°的()倍,eg.∠DAC=∠7=84°,(∠5是题中给出除外),所以∠DAC=∠DOA=∠7=84°,∠DBC=∠6=72°,∠DOC=∠8=96°(你既然参加竞赛,这些角度计算对你应该不难)应用正弦定理:⊿ADC中:L/sin4=m/sin7⊿AOD中:y/sin1=L/sin7⊿BOC中:x/sin2=(L-y)/sin6⊿BDC中:b/sin3=m/sin6⊿ABC中:a/sin2=b/sin5现将所有边长以m的函数表示,根据上述等式有:L=m*sin4/sin7y=m*(sin1*sin4)/(sin7)^2x=m*(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7)b=m*sin3/sin6a=m*sin2*sin3/(sin5*sin6)⊿AOB中,应用余弦定理有:x*x=a*a+y*y-2aycos5将x,a,y的值(含m)代入此式(m可消去),得到:[(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7)]^2 = [sin2*sin3/(sin5*sin6)]^2 + [(sin1*sin4)/(sin7)^2]^2 - 2[sin2*sin3/(sin5*sin6)][(sin1*sin4)/(sin7)^2]*cos5∠1,2,3,4,6,7,8都是已知角,只∠5未知,所以上式为:A = [B/(sin5*sin5)] - C*cos5/sin5, 其中A,B,C为可计算的常数,有sin5*sin5+cos5*cos5=1,所以:A = B[sin5*sin5+cos5*cos5/(sin5*sin5)] - C*cot5 =>A = B + Bcot5*cot5 - C*cot5最后化简成关于cot5的一元二次方程:Bcot5*cot5 - C*cot5 + (B-A) = 0,A,B,C已知,可解。具体的值我没算,思路就是这样的。
再问: 恩,过程我看了,我算算试试,大清早的麻烦你了,不过老师说这道题很有意思,所以应该不会这么麻烦,希望你能再帮忙想想
再问: 恩,过程我看了,我算算试试,大清早的麻烦你了,不过老师说这道题很有意思,所以应该不会这么麻烦,希望你能再帮忙想想
再答: 嗯,我找到一个稍微简单的办法:设∠ABD=p, 同样用正弦定理: L/sin(6+p)=a/sin2, L/sinp=a/sin1, 以上两式相除: sin2/sin1=sin(6+p)/sinp => 2cos1=sin6*cotp+cos6 => cotp=(2cos1-cos6)/sin6 计算器算出p刚好等于30°(嗯30°应该不用计算器,我偷懒了^^), 即p=30°=2.5, 所以∠5=7-2.5=4.5=54°
再问: 我学了… 你说吧
再答: 设AC,BD交于点O, AD=AC=L, DC=m, AB=a, BC=b, AO=y, OB=x,现要求∠5据题意,∠1=12°,∠2=24°,etc.,所以我用数字代表该角等于12°的()倍,eg.∠DAC=∠7=84°,(∠5是题中给出除外),所以∠DAC=∠DOA=∠7=84°,∠DBC=∠6=72°,∠DOC=∠8=96°(你既然参加竞赛,这些角度计算对你应该不难)应用正弦定理:⊿ADC中:L/sin4=m/sin7⊿AOD中:y/sin1=L/sin7⊿BOC中:x/sin2=(L-y)/sin6⊿BDC中:b/sin3=m/sin6⊿ABC中:a/sin2=b/sin5现将所有边长以m的函数表示,根据上述等式有:L=m*sin4/sin7y=m*(sin1*sin4)/(sin7)^2x=m*(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7)b=m*sin3/sin6a=m*sin2*sin3/(sin5*sin6)⊿AOB中,应用余弦定理有:x*x=a*a+y*y-2aycos5将x,a,y的值(含m)代入此式(m可消去),得到:[(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7)]^2 = [sin2*sin3/(sin5*sin6)]^2 + [(sin1*sin4)/(sin7)^2]^2 - 2[sin2*sin3/(sin5*sin6)][(sin1*sin4)/(sin7)^2]*cos5∠1,2,3,4,6,7,8都是已知角,只∠5未知,所以上式为:A = [B/(sin5*sin5)] - C*cos5/sin5, 其中A,B,C为可计算的常数,有sin5*sin5+cos5*cos5=1,所以:A = B[sin5*sin5+cos5*cos5/(sin5*sin5)] - C*cot5 =>A = B + Bcot5*cot5 - C*cot5最后化简成关于cot5的一元二次方程:Bcot5*cot5 - C*cot5 + (B-A) = 0,A,B,C已知,可解。具体的值我没算,思路就是这样的。
再问: 恩,过程我看了,我算算试试,大清早的麻烦你了,不过老师说这道题很有意思,所以应该不会这么麻烦,希望你能再帮忙想想
再问: 恩,过程我看了,我算算试试,大清早的麻烦你了,不过老师说这道题很有意思,所以应该不会这么麻烦,希望你能再帮忙想想
再答: 嗯,我找到一个稍微简单的办法:设∠ABD=p, 同样用正弦定理: L/sin(6+p)=a/sin2, L/sinp=a/sin1, 以上两式相除: sin2/sin1=sin(6+p)/sinp => 2cos1=sin6*cotp+cos6 => cotp=(2cos1-cos6)/sin6 计算器算出p刚好等于30°(嗯30°应该不用计算器,我偷懒了^^), 即p=30°=2.5, 所以∠5=7-2.5=4.5=54°
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