如图,在平面直角坐标系中,直线y＝－3/4x－12分别交x轴,y轴于A,B两点,点C在x轴上,且△ABC∽△AOB．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 04:36:58

如图,在平面直角坐标系中,直线y＝－3/4x－12分别交x轴,y轴于A,B两点,点C在x轴上,且△ABC∽△AOB．
求点C的坐标；
（2）若点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿AB向B运动,同时点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿CA向A运动,连结PQ．设△APQ的面积为S,运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下,是否存在t的值,使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由．

（1）y＝－3/4x－12,令x=0,则y=-12,令y=0,则x=-16可得A（-16,0）B（0,-12）
∵△ABC∽△AOB ∴AO/AB=AB/AC=AB/（AO+OC）,
AO=16,AB=20（勾股定理）,代入解得OC=9,
∴点C的坐标是（9,0）
（2）∵P、Q的运动速度为每秒1个单位,∴t时AP=CQ=t,由勾股定理可得BC=15,
∵△ABC∽△AOB ,∴∠ABC=∠AOB=90°,
∴ S=1/2AP*BQ=1/2AP*（BC-CQ）=1/2t（15-t） (0＜t＜15)
（3）不存在,
∵ 0°＜∠AQP＜∠ACB≠90°,0°＜∠QAP＜∠CAB≠90°,
假设以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,而∠ABC=90°,∴∠APQ=90°
∴P点与B点重合,即PB=0,
而PB=AB-AP=20-t,
∵0＜t＜15,∴5＜PB＜20,这与PB=0矛盾,
假设不成立,所以不存在t的值,使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.