已知a,b,c是正数,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b).

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 18:36:35

证明不妨设a≥b≥c>0,则
(a^(2a)*b^(2b)*c^(2c))/(a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b))
=(a^a*b^b*c^c)/(a^((b+c)/2)*b^((c+a)/2)*c^((a+b)/2))
=(a^((a-b)/2+(a-c)/2))*(b^((b-c)/2+(b-a)/2))*(c^((c-a)/2+(c-b)/2))
=((a/b)^((a-b)/2))*((a/c)^((a-c)/2))*((b/c)^((b-c)/2))≥1
故得
a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
这是我在静心思考后得出的结论,
如果不能请追问,我会尽全力帮您解决的~
如果您有所不满愿意,请谅解~
再问：我觉得这个方法更简单------取对数即证 2alna+2blnb+2clnc>=(b+c)lna+(a+c )lnb+(a+b)lnc 假设a>b>c,则lna>lnb>lnc 根据排序不等式 alna+blnb+clnc>=blna+clnb+alnc alna+blnb+clnc>=clna+alnb+blnc 两式相加，即得证但还是谢谢你，（其实我已经看过这个之后知道做了。。。）给你满意吧！！
再答：这当然行，没想到你已经学到这啦，你应该看了竞赛书吧

已知a,b,c是正数,求证:a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b) 已知a,b,c是正数,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b). 已知a,b,c是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b) 已知a,b,c是正数,求证 a^2(b)×b^(2b)×c^(2c)大于等于a^(a+b)×b^(a+c)×c^(a+b 已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（已知abc是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c大于等于a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b) 设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2 已知a,b为正数,2c>a+b,求证:c-根号c*2-ab 已知a>b>c>0,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(a+c)c^(a+b) 已知a.b.c是三个正数,证明：a^2*b^2*c^2>=a^b+c*b^a+c*c^a+b 已知a,b,c是实数,求证a*a+b*b+c*c>=ab+3b+2c 已知a,b,c属于正数,求证(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc