已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 18:25:20

已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?
为什么不可以这样解
因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1
所以,
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
=0
这哪里错了?

lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的,等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以.举个简单例子
lim x→0 [sinx-x]/x^3,如果按照你的那种做法,显然结果是0.实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式——泰勒公式（只展开有限项目,后边的高阶项可视为高阶无穷小）
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题,
lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是 lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了吧?希望你能理解等价无穷小的使用.
再问：如果这样呢 lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0 =lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3 =lim 6x/x^3 +limf(x)]/x^2 =lim [6+f(x)]/x^2
再答：你是这个意思吧： lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3 =lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3 =lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3 =lim x→0 [6+f(x)]/x^2 。很显然，这样子也是错误的。错误在于第一步将极限拆分，也就是应用极限的四则运算，此时要严格按照四则运算的前提条件，也就是拆分后两部分的极限都存在。很显然lim sin6x /x^3极限为无穷大，不存在，故不可拆分。希望你能理解极限。

已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2? lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2 设x->0时,lim((sin6x+xf(x))/x^3)=0,求x->0时,lim((6+f(x))/x^2). x趋于0,lim x-o ( sin6x+xf(x))/x3=0 ,lim x-o (6+f(x))/x2=? 求极限当x→0若lim[sin6x+x f(x)]/x^3=0,求lim[6+ f(x)]/x^2 lim(x趋近于0)[sin6x+xf(x)]/x^3=0,则lim(x趋近于0)[6+f(x)]/x^2=? 假设lim(x趋于0)[(sin6x+xf(x))/x^3]=0,则lim(x趋于0)[(6+f(x))/x^2]=?, lim（x趋于0）（sin6x-xf(x)）/x^3=0,求lim（x趋于哦0）（6-xf(x)）/x^2. 已知lim(x→0)[sin6x–f(x)tanx]/x=0,求lim(x→0)[6-f(x)]/x 求极限lim(x->0)(sin6x-6x)/x^3, 求极限当x→0若lim[sin6x+x f(x)]/x3=0,求lim[6+ f(x)]/x2 已知lim(x→0)(sinx+xf(x))/x^3=1/3,求f(0),f'(0),f"(0)