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已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径做○o,BC交圆o于点D,E为边AC的中点,ED、AB的延长线相

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/04/28 16:13:42

已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径做○o,BC交圆o于点D,E为边AC的中点,ED、AB的延长线相交于点F.

求证:(1) DE为圆o的切线

          (2) AB*DF=AC*BF

已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径做○o,BC交圆o于点D,E为边AC的中点,ED、AB的延长线相
证明:
(1)
连接AD,OD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ADC =90°
∵E是AC的中点
∴DE=AE(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
∴∠EDA=∠EAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠OAD
即∠EDO=∠EAO=90°
∴DE是⊙O的切线

(2)
∵DE是⊙O的切线,即DF是⊙O的切线
∴∠FDB=∠FAD(弦切角等于它夹弧所对的圆周角)
又∵∠F=∠F
∴△FDB∽△EAD(AA)
∴BF/DF=BD/AD
∵∠BDA=∠BAC=90°,∠ABD=∠CBA(公共角)
∴△BDA∽△BAC(AA)
∴BD/AD=AB/AC
∴AB/AC=BF/DF
∴AB×DF=AC×BF