搜狗做题网圆 已知圆方程 求 关于一条 直线 对称的 圆的方程
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 15:23:37
圆 已知圆方程 求 关于一条 直线 对称的 圆的方程
圆 （X-3）的平方 +（Y-4）的平方=1 关于 直线 X+Y=0 对称的 圆的方程是___
以后再有与此类似的题目 是否也是这样的解法去解答呢!
圆 （X-3）的平方 +（Y-4）的平方=1 关于 直线 X+Y=0 对称的 圆的方程是___
以后再有与此类似的题目 是否也是这样的解法去解答呢!
本题不难,第一种思路是根据已知圆的半径和圆心坐标分别为r=1和O(3,4),求出未知圆的圆心坐标就可以了,具体如下:
解法一：设点O(3,4)关于直线 X+Y=0的对称点为M(a,b),那么
因为OM连线与已知直线X+Y=0垂直,所以它们的斜率互为负倒数,得到
(b－4)/(a－3)＝1…………①
又因为线段OM的中点在直线X+Y=0上,所以线段OM的中点坐标是方程X+Y=0的一组解．得到
(3＋a)/2＋(4＋b)/2＝0…………②
这样由①式和②式联合解出 a＝－4,b＝－3.
因此所求圆的方程为 (x＋4)＾2＋(y＋3)＾2＝1
还有另一种解法叫“相关点代入法”或“相关点法”,当然本题比较简单,可以观察得到结论,但是对于求其他对称曲线(不一定是圆,其他曲线也行)的问题却是通用解法,在高考命题中要求考生必须掌握的．
下面我用相关点法解一次本题给你看看,
解法二：设所求圆上任意一点M(x,y)关于直线x＋y＝0的对称点为N(a,b),那么
(y－b)/(x－a)＝1…………………①
(x＋a)/2＋(y＋b)/2＝0…………②
由①式和②式解出
a＝－y 且 b＝－x
因为点N(a,b)在已知圆(x－3)＾2＋(y－4)＾2＝1上,所以
(－y－3)＾2＋(－x－4)＾2＝1
整理得
(x＋4)＾2＋(y＋3)＾2＝1
这就是所求圆的方程．
你看,我用第二种解法时根本不考虑圆的特殊性（也就是半径和圆心）,但是两种方法解得的结论是一样的,说明解法二是一种通用的解法,建议你好好领会．
解法一：设点O(3,4)关于直线 X+Y=0的对称点为M(a,b),那么
因为OM连线与已知直线X+Y=0垂直,所以它们的斜率互为负倒数,得到
(b－4)/(a－3)＝1…………①
又因为线段OM的中点在直线X+Y=0上,所以线段OM的中点坐标是方程X+Y=0的一组解．得到
(3＋a)/2＋(4＋b)/2＝0…………②
这样由①式和②式联合解出 a＝－4,b＝－3.
因此所求圆的方程为 (x＋4)＾2＋(y＋3)＾2＝1
还有另一种解法叫“相关点代入法”或“相关点法”,当然本题比较简单,可以观察得到结论,但是对于求其他对称曲线(不一定是圆,其他曲线也行)的问题却是通用解法,在高考命题中要求考生必须掌握的．
下面我用相关点法解一次本题给你看看,
解法二：设所求圆上任意一点M(x,y)关于直线x＋y＝0的对称点为N(a,b),那么
(y－b)/(x－a)＝1…………………①
(x＋a)/2＋(y＋b)/2＝0…………②
由①式和②式解出
a＝－y 且 b＝－x
因为点N(a,b)在已知圆(x－3)＾2＋(y－4)＾2＝1上,所以
(－y－3)＾2＋(－x－4)＾2＝1
整理得
(x＋4)＾2＋(y＋3)＾2＝1
这就是所求圆的方程．
你看,我用第二种解法时根本不考虑圆的特殊性（也就是半径和圆心）,但是两种方法解得的结论是一样的,说明解法二是一种通用的解法,建议你好好领会．
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