搜狗做题网已知函数f（x）=2x-4x
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 05:56:19
已知函数f（x）=2x-4x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．
（1）令t=2x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t2=-（t-
1
2）2+
1
4
在（0，
1
2）上为增函数，在（
1
2，+∞）上是减函数，
∴y≤
1
4，f（x）的值域（-∞，
1
4]．
（2）因为f（x）＞16-9×2x⇒（2x）2-10×2x+16＜0⇒（2x-2）（2x-8）＜0⇒2＜2x＜8⇒1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2x的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[
1
2，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t2=m在t∈[
1
2，2]上有解
又因为y=t-t2=-（t-
1
2）2+
1
4在t∈[
1
2，2]上为减函数，
所以ymax=
1
4，ymin=-2，即-2≤m≤
1
4．
故m的取值范围-2≤m≤
1
4．
1
2）2+
1
4
在（0，
1
2）上为增函数，在（
1
2，+∞）上是减函数，
∴y≤
1
4，f（x）的值域（-∞，
1
4]．
（2）因为f（x）＞16-9×2x⇒（2x）2-10×2x+16＜0⇒（2x-2）（2x-8）＜0⇒2＜2x＜8⇒1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2x的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[
1
2，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t2=m在t∈[
1
2，2]上有解
又因为y=t-t2=-（t-
1
2）2+
1
4在t∈[
1
2，2]上为减函数，
所以ymax=
1
4，ymin=-2，即-2≤m≤
1
4．
故m的取值范围-2≤m≤
1
4．