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如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 07:05:01
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.

(1)求证:PA⊥平面PBC;
(2)求二面角P-AC--B的一个三角函数值.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.
(1)证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,
∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC;
又∵PA⊥PB,PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC.…..4
(2)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM,
∵平面PAB⊥平面ABC,∴PO⊥平面ABC,由三垂线定理得PM⊥AC,∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角.
设PA=PB=
6,
∵PA⊥PB,∴AB=2
3,PO=BO=AO=
3
∵OM⊥AM,∠MAO=30°,∴OM=AOsin300=
AO
2,
∴tan∠PMO=
PO
OM=
AO
OM=2.…12