25．如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为（4,0）,以OA为一边,在第一象限作等边△OAB （1

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 06:30:43

25．如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为（4,0）,以OA为一边,在第一象限作等边△OAB （1
25．如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为（4,0）,以OA为一边,在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标．
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式．
（3）直线y＝ x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标；
（4）在（3）中,直线AC上方的抛物线上,是否存在一点D,使得△OCD的面积最大?如果存在.求出点D的坐标和面积的最大值,如果不存在,请说明理由．

画出图像
(1) 在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为（4,0）,
以OA为一边,在第一象限作等边△OAB,
等边△OAB的边长为4,底边OA上的高BD长2*√3,且在线段OA的垂直平分线上,
OA中点D(2,0),B(2,2*√3)
(2) 经过O、A、B三点的抛物线,
开口向下,顶点为B(2,2*√3)
设抛物线的解析式：y=-a(x-2)∧2+2*√3（a＞0）,
过O(0,0),得到0=-a(0-2)∧2+2*√3,得到a=1/2*√3,
所求解析式为y=-1/2*√3*(x-2)∧2+2*√3；
(3) 直线y＝ x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C,
设C(m,m)代入抛物线解析式中,
得到m=-1/2*√3*(m-2)∧2+2*√3,解得m=0或4-2/3*√3,
如图知C(4-2/3*√3,4-2/3*√3)；
(4) 由图知存在直线AC上方的抛物线上的点D,使得△OCD的面积最大,
画OC直线的一系列平行线可以看出（OC为底）
设直线y=x+n（n＞0）,与抛物线相切与点D,
设D(t,t+n) 代入抛物线解析式中,由关于t的方程：1/2*√3*t*t+(1-2*√3)t+n=0
的△=0,得出n=〔(1-2*√3)∧2〕/(2*√3)
再解方程得出t
得到点D坐标