若函数y=f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,则称y=f(x)为“Ω函数
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 23:42:39
若函数y=f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,则称y=f(x)为“Ω函数”.
(1)判断下列函数,是否为“Ω函数”,并说明理由;
①f(x)=x3 ②f(x)=2x
(2)已知函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,求出所有的有序实数对(a,b).
(1)判断下列函数,是否为“Ω函数”,并说明理由;
①f(x)=x3 ②f(x)=2x
(2)已知函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,求出所有的有序实数对(a,b).
(1)①若f(x)=x3 是“Ω函数”,则存在实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b,
即(a2-x2)3=b时,对x∈R恒成立 …(2分)
而x2=a2-
3b
最多有两个解,矛盾,
因此f(x)=x3 不是“Ω函数”…(3分)
②若f(x)=2x是“Ω函数”,则存在常数a,b使得2a+x•2a-x=22a,
即存在常数对(a,22a)满足,因此f(x)=2x是“Ω函数”(6分)
(2)函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,
设有序实数对(a,b)满足,则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立
当a=kπ+
π
2,k∈Z时,tan(a-x)tan(a+x)=-cot2x,不是常数; …(8分)
因此a≠kπ+
π
2,k∈Z,当x≠mπ+
π
2,m∈Z时,
则有(btan2a-1)tan2x+(tan2a-b)=0恒成立,
所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
∴tan2a=1,b=1
∴a=kπ+
π
4,k∈Z,b=1 …(13分)
∴当x=mπ+
π
2,m∈Z,a=kπ±
π
4时,tan(a-x)tan(a+x)=cot2a=1.
因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a,b)=(kπ±
π
4,1),k∈Z…(14分)
即(a2-x2)3=b时,对x∈R恒成立 …(2分)
而x2=a2-
3b
最多有两个解,矛盾,
因此f(x)=x3 不是“Ω函数”…(3分)
②若f(x)=2x是“Ω函数”,则存在常数a,b使得2a+x•2a-x=22a,
即存在常数对(a,22a)满足,因此f(x)=2x是“Ω函数”(6分)
(2)函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,
设有序实数对(a,b)满足,则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立
当a=kπ+
π
2,k∈Z时,tan(a-x)tan(a+x)=-cot2x,不是常数; …(8分)
因此a≠kπ+
π
2,k∈Z,当x≠mπ+
π
2,m∈Z时,
则有(btan2a-1)tan2x+(tan2a-b)=0恒成立,
所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
∴tan2a=1,b=1
∴a=kπ+
π
4,k∈Z,b=1 …(13分)
∴当x=mπ+
π
2,m∈Z,a=kπ±
π
4时,tan(a-x)tan(a+x)=cot2a=1.
因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a,b)=(kπ±
π
4,1),k∈Z…(14分)
若函数y=f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,则称y=f(x)为“Ω函数
已知函数f(x)=x|x-2|若存在互不相等的实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)成立,则a+b+c的取值范围
对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a+x)*f(a-x)=b对定义域中的每一个都成立,则称函数f(x
如果函数y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)
对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x
定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a
对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2,(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的
对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不
对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不
(2009•上海)已知函数y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+
高一数学函数题目定义:对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a+x)f(a-x)=b对定义域中的每一个x
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