所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗?

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 15:45:28

所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗?
要证明

设偶数A=m²-n² (m、n均为自然数)
A=(m+n)(m-n) /平方差公式
m+n与m-n同奇或同偶,若要乘积为偶数,只有m+n与m-n同偶.
m、n同为偶数或同为奇数（这是因为若m、n一奇一偶,则和、差均为奇数)
m、n同为偶数时,设m=2p,n=2q (p、q均为自然数)
A=(m+n)(m-n)=(2p+2q)(2p-2q)=4(p+q)(p-q)
4是A的因子,即A能被4整除.
m、n同为奇数时,设m=2p+1,n=2q+1 (p、q均为自然数)
A=(m+n)(m-n)=(2p+1+2q+1)(2p+1-2q-1)=4(p+q+1)(p-q)
4是A的因子,即A能被4整除.
综上,得：只有当偶数是4的整倍数时,才有可能能表示为两个自然数的平方差(也不一定可以),是2的奇数倍时,一定不能表示为两个自然数的平方差.因此命题“所有偶数都能表示为两个自然数的平方差”是错误的.

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