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设b>0,数列{an}满足:a[1]=b,a[n]=nba[n-1]/(a[n-1]+2n-2)(n≥2).

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 17:10:23
设b>0,数列{an}满足:a[1]=b,a[n]=nba[n-1]/(a[n-1]+2n-2)(n≥2).
设b>0,数列{an}满足:a[1]=b,a[n]=nba[n-1]/(a[n-1[+2n-2)(n≥2).
⑴求数列{an}的通项公式 ⑵证明:对于一切正整n,有a[n]-1
设b>0,数列{an}满足:a[1]=b,a[n]=nba[n-1]/(a[n-1]+2n-2)(n≥2).
原始可化为;
an/n =ba(n-1)/(an-1 +2(n-1)) 两边取得倒数
n/an =1/b + 2/b*(n-1/an-1)
上式可化为
n/an + 1/(2-b) = 2/b*(n-1/an-1 + 1/(2-b))
设bn=n/an + 1/(2-b)则
bn=2/b * bn-1所以bn是公比为2/b的等比数列
bn=b1*(2/b)^(n-1)=(1/b + 1/(2-b) )*(2/b)^(n-1)=(1/(2-b))*(2/b)^n=n/an + 1/(2-b)
an=n*(2-b) / (2/b)^n -1