已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/12 18:04:15

已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当-3＜a＜-2时，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范围．

（Ⅰ）依题意，h′（x）=
1
x+2ax，
∴f（x）=（2-a）lnx+
1
x+2ax，其定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+
1
x，f′（x）=
2
x−
1
x2＝
2x−1
x2，
令f′（x）=0，解得x=
1
2，
当0＜x＜
1
2时，f′（x）＜0；当x＞
1
2时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，
1
2），单调递增区间为（
1
2，+∞）；
∴x=
1
2时，f（x）有极小值为f（
1
2）=2-2ln2，无极大值；
（Ⅱ）f′（x）=
2−a
x−
1
x2+2a=
2ax2+(2−a)x−1
x2=
a(2x−1)(x+
1
a)
x2(x＞0)，
当-2＜a＜0时，-
1
a＞
1
2，令f′（x）＜0，得0＜x＜
1
2或x＞-
1
a，
令f′（x）＞0，得
1
2＜x＜−
1
a；
当a=-2时，f′（x）=-
(2x−1)2
x2≤0；
当a＜-2时，-
1
a＜
1
2，令f′（x）＜0，得x＜-
1
a或x＞
1
2，
令f′（x）＞0，得-
1
a＜x＜
1
2；
综上所述：当-2＜a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，
1
2），（-
1
a，+∞），单调增区间为（
1
2，-
1
a）；
当a=-2时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；当a＜-2时，f（x）的单调减区间为（0，-
1
a），（
1
2，+∞），单调增区间为（-
1
a，
1
2）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当-3＜a＜-2时，f（x）在[1，3]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=2a+1；f（x）_min=f（3）=（2-a）ln3+
1
3+6a，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+
1
3+6a]=
2
3−4a+(a−2)ln3，
∵存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＜
2
3-4a+（a-2）ln3，整理得ma＜
2
3−4a，
又a＜0，∴m＞
2
3a-4，
又∵-3＜a＜-2，∴-
1
3＜
2
3a＜−
2
9，
∴-
13
3＜
2
3a−4＜−
38
9，
∴m≥−
38
9．

已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．已知函数f（x）=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R （2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R．已知函数f(x）=lnx+a/x,g(x)=x,F(x)=f(1+e的x次方)-g(x）,x属于R 函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．已知函数f（x）=lnx-x,h（x）=lnx/x. 已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．