求极限:lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x (x趋于正无穷)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 02:24:59
求极限:lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x (x趋于正无穷)
如题~请写出具体过程
如题~请写出具体过程
lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x (x趋于正无穷)
令t=1/x,
当x->正无穷,有:t->0
则:
lim(x->正无穷)[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
=lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
因为:
lim(t->0)(sint+cost-1)/t
=lim(t->0)(cost-sint)=1
所以
lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
=e^1
=e
分析:
对于该极限,从她的形式你可以猜想他可能跟这个重要极限有关:
lim(x->无穷)(1+1/x)^x=e
所以你要想办法配出这种形式:
(1+无穷小量)^(无穷大量)
那么问题就可以解决了!
看了一下楼上的解答,
其实用等价来做,问题可以更简单
也用到了 重要极限
令t=1/x,
当x->正无穷,有:t->0
则:
lim(x->正无穷)[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
=lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
因为:
lim(t->0)(sint+cost-1)/t
=lim(t->0)(cost-sint)=1
所以
lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
=e^1
=e
分析:
对于该极限,从她的形式你可以猜想他可能跟这个重要极限有关:
lim(x->无穷)(1+1/x)^x=e
所以你要想办法配出这种形式:
(1+无穷小量)^(无穷大量)
那么问题就可以解决了!
看了一下楼上的解答,
其实用等价来做,问题可以更简单
也用到了 重要极限
求极限:lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x (x趋于正无穷)
求函数极限,x趋于正无穷时,lim[sin(x+1)^(1/2)-sin(x-1)^(1/2)]
求极限lim(x趋于正无穷)(lnx)^(1/x)
求极限,lim x趋于0 x * sin 1/x
Lim(x趋于正无穷)lnx的极限是1,
高数极限问题:求lim(π/2-arctanx)^(1/lnx) (x趋于正无穷)
求极限x^3*(cos x + sin x)/2^x,x趋于无穷
lim(x趋于负无穷)(x^2)sin(1/x)的极限?
求sin(根号下1+x)-sin(根号下x),当x趋于正无穷时的极限是多少?
高数求极限求lim【x-x^2ln(1+1/x)】,x趋于无穷.
求极限(X趋于1)lim{[sin(x-1)]^2}/x-1
求极限 lim(x趋于正无穷) (3x^3+2x^2-4x+1)/(2x^3-4x^2+3x-7)