搜狗做题网考研数学一：定积分知识问题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 22:41:11
考研数学一：定积分知识问题
2012年考研数学一中的第十题：定积分问题,一直不明白答案中的换元是怎么想出来的?为什么要那么换,这个式子有什么特征?具有什么特征的式子要这么换元?
2012年考研数学一中的第十题：定积分问题,一直不明白答案中的换元是怎么想出来的?为什么要那么换,这个式子有什么特征?具有什么特征的式子要这么换元?
查了2012年考研数学一中的第十题,不知道你的问题究竟是什么?现看看这题：
∫(0,2)x√(2x-x^2)dx （如果直接求原函数,有点麻烦,变形得：)
=∫(0,2)x√(1-(x-1)^2)dx (令x-1=t,变成对称区间）
=∫(-1,1)(t+1)√(1-t^2)dt (t√(1-t^2)是奇函数）
=∫(0,1)√(1-t^2)dt （这是公式了）
再问： 我的意思就是你怎么想到令x=t+1这个换元的？ 什么样的积分应用可以应用这种换元，上升到一种规律，这思路比较清晰。
再答： 看来是这题了 1.在根号里面是ax^2+bx+c的，一般像解二次方程一样，前面化成a(x+b/2a)^2.就令x+b/2a=u 这样就把根号里面变成u^2±A^2,或者A^2-u^2，便于用公式 2.本题还有就是令x-1=t,变成对称区间
∫(0,2)x√(2x-x^2)dx （如果直接求原函数,有点麻烦,变形得：)
=∫(0,2)x√(1-(x-1)^2)dx (令x-1=t,变成对称区间）
=∫(-1,1)(t+1)√(1-t^2)dt (t√(1-t^2)是奇函数）
=∫(0,1)√(1-t^2)dt （这是公式了）
再问： 我的意思就是你怎么想到令x=t+1这个换元的？ 什么样的积分应用可以应用这种换元，上升到一种规律，这思路比较清晰。
再答： 看来是这题了 1.在根号里面是ax^2+bx+c的，一般像解二次方程一样，前面化成a(x+b/2a)^2.就令x+b/2a=u 这样就把根号里面变成u^2±A^2,或者A^2-u^2，便于用公式 2.本题还有就是令x-1=t,变成对称区间