已知直线y=-根号3/3x+1和x、y轴交于A、B两点,以线段AB为边在第一象限内作等腰RT△ABC,∠BAC=90°.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:52:46

已知直线y=-根号3/3x+1和x、y轴交于A、B两点,以线段AB为边在第一象限内作等腰RT△ABC,∠BAC=90°.
且点P（1,a）为坐标系中的一个动点.
1.求三角形ABC的面积
2.证明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数.
3.要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.

1.由题意,知A(根号3,0),B(0.1),所以,AB=2,又由△ABC为等腰RT三角形,所以AC=BC=根号2,且AC⊥BC,所以△ABC面积=0.5*AC*BC=1
2.作PM⊥OB于M,因为B在y轴上,所以△BOP的面积=0.5*OB*PM=0.5*OB*|xP|=0.5,确实为常数.（试中xP为P点横坐标）
3.若△ABC的面积=△ABP的面积,在等式两边同时加上△ABO的面积,
则得到四边形OAPB的面积=四边形OACB的面积=1+根号3/2,我们又观察到四边形OAPB的面积=△BOP的面积+△AOP的面积,而△AOP的面积=0.5*OA*|yP|=(根号3/2)a
那么,有0.5+(根号3/2)a=1+根号3/2,解得a=1+根号3/3