如图,在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,角AOB=60°,且E、F分别为OD、OA

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 01:30:30

如图,在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,角AOB=60°,且E、F分别为OD、OA的中点,M是BC的中点,求证：△EFM是等边三角形
如图，（字母不附），如图，在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,角AOB=60°，且S、P分别为OD、OA的中点，Q是BC的中点，求证：△SPQ是等边三角形

第一问：
证明：连接CS、BP；
因为等腰梯形ABCD,CD//AB,
所以OC=OD,OA=OB；
又因为∠ACD=60°,
所以三角形COD、AOB为等边三角形.
在等边三角形COD、AOB中,因为S、P分别为OD、OA中点,
所以CS垂直于BD,BP垂直于AC；
在直角三角形CSB中,因为Q是BC中点,
所以QS=1/2BC=1/AD；
又在直角三角形BCP中,因为Q是BC中点,
所以QP=1/2BC=1/AD；
所以QS=QP=1/2AD；
又因在三角形AOD中,P、S分别为OA、OD的中点,
所以PS=1/2AD；
所以QS=QP=PS
即△PQS是等边三角形!
2.由已知得,AB=OA=OB=5,CD=OC=OD=3,又角BOC=120度,由余弦定理得BC=7,所以等边三角形PQS的边长为7/2,则其面积S=49根号3/16
设CD=x,AB=y,由三角形PQS的面积可表示为
[根号3(a^2+ab+b^2)]/16,三角形OAD的面积可表示为(根号3ab)/4,
它们的比为7:8,化简得
2a^2-5ab+2b^2=0
解得,a/b=1/2或a/b=2/1