搜狗做题网利用函数极限求数列极限,
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/07 07:14:28
利用函数极限求数列极限,
先换元,用洛必法则,再用泰勒公式展开
设y=(1+x)^(1/3x)
则y`=(1/3)(1+x)^(1/3x)[1/[x(1+x)]-ln(1+x)/(x²)]
而1/[x(1+x)]=1/x-1/(1+x)
又ln(1+x)/x²=1/x-1/2-x/3+0(x)
故y`=(1/3)(1+x)^(1/(3x))[1/2-1/(1+x)-x/3+0(x)]
从而
原式=limy`/x`=lim(1/3)(1+x)^(1/(3x))[1/2-1/(1+x)+x/3+0(x)]=(-1/6)e^(1/3)
设y=(1+x)^(1/3x)
则y`=(1/3)(1+x)^(1/3x)[1/[x(1+x)]-ln(1+x)/(x²)]
而1/[x(1+x)]=1/x-1/(1+x)
又ln(1+x)/x²=1/x-1/2-x/3+0(x)
故y`=(1/3)(1+x)^(1/(3x))[1/2-1/(1+x)-x/3+0(x)]
从而
原式=limy`/x`=lim(1/3)(1+x)^(1/(3x))[1/2-1/(1+x)+x/3+0(x)]=(-1/6)e^(1/3)