搜狗做题网逐差法的详解
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/06/03 05:33:27
有关逐差法的详解
解题思路： 从数据的处理方法去分析考虑
解题过程：
“逐差法”与实验测量数据的有效利用 物理学是一门以实验为基础的科学，准确记录及有效利用物理实验中的测量数据，具有非常重要的意义。在高中物理教学中，学生实验“利用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度”，在处理数据时用到“逐差法”，该实验对提高学生的实验素养、实验能力等有其特殊作用。 1．关于“逐差法”的原理 一般来讲，如果物理量y是x的n次幂函数，并且控制自变量x作等间距变化，则y的n次逐差是一个常量。例如在匀变速直线运动中，质点的位置x是时间t的二次幂函数，即 x1= x0+ v0t+at2/2 ① 式中x0、v0、a分别是t=0时的位置（初位置）、速度（初速度）及运动过程中的加速度，如果每隔相等的时间间隔T测量一次质点的位置，则可得到一系列x的值，即 x1= x0+ v0T+aT2/2 x2= x0+ v02T+a（4T2）/2 x3= x0+ v03T+a（9T2）/2 …… xn= x0+ v0nT+a（n2T2）/2 把相邻的x值依次相减（称为x的一次逐差），得到各段时间T内的位移值，即 s1= x1-x0= v0T+aT2/2 s2= x2-x1= v0T+a（3T2）/2 s3= x3-x2= v0T+a（5T2）/2 …… 再把相邻各s值依次相减（称为x的二次逐差），得到 Δs1= s2-s1= aT2 Δs2= s3-s2= aT2 …… Δsn= sn+1-sn= aT2 可以看出Δsn是常量，并由此可求出
② 
我们的实验就是利用打点计时器在纸带上打出一系列点迹（每隔0.02s打一个点），如下图所示，在纸带上可测各x的值，或直接测量各段位移s的值（由于中学课本不讲位置x与时间t的关系，因此课本上采用的是直接测量位移s的值的方法），并根据Δsn是否是常量来判断该运动是不是匀变速直线运动，如果是匀变速直线运动，则可利用上面的②式来求加速度的值。 2．采用隔项逐差，充分有效地利用测量数据 实际实验时，为尽量减少偶然误差带来的影响，一般采取多次测量而后取平均值的方法，以上面图示的纸带为例，共有A、B、C、D、E、F、G七个计数点，分别测量出两相邻计数点间的位移值s1、s2、……sn，并利用②式求出多个加速度的值，得到 
…… 
平均值 
③ 不难看出，在最后结果中，只有两端的2个数据是有用的，而中间的数据都没有用上，这显然是违背初衷的。 第二种方法，即隔项逐差法，具体作法是把上述所测的数据分成两组，交叉相减，分别求a值，再求它们的平均值，得 
平均值 
④ 可以看出，第二种方法把所有数据都用上了。由于每个测量数据在读取时都难免有偶然误差，而偶然误差的特点是偏大与偏小的概率相等，测量的数据趋于无穷多时，偶然误差的总和也趋于零。因此这两种方法相比较，隔项逐差法更为合理。 但这种分别测量各段时间内的位移的方法并不好，因为用一把刻度尺测量某一段长度时，读数的偶然误差并不只是由于末端的读数估计值而产生的，起始端与刻度尺的某刻线是否对齐也是靠估计的。在实际操作时，往往要多次移动刻度尺的位置，每次都要读取两端的数据，这样既不方便，又容易出现较大误差甚至读数错误。因此在实际实验时一般采用直接读取每个计数点的位置坐标的方法，即用同一把刻度尺同时测量各计数点与任一点O的距离。如前面图中的x1、x2、…… x6，就是各计数点的位置坐标，再利用位置坐标计算各段位移时，由于刻度尺某刻线是否与O点对齐而产生的误差值就完全可以互相抵消了。 用计数点位置坐标表示，③④两式分别变为下面的⑤⑥两式 
⑤ 
⑥ ⑤式与③式反映的物理意义是相同的，都是利用FG间的距离与AB间的距离的差去求加速度，⑥式与④式也是如此，它们是利用DG间的距离与AD间的距离的差去求加速度。 下面再进一步从误差的角度讨论一下，若使用上述的第一种方法，最后相当于利用⑤式求加速度a，其误差的大小决定于A、B及F、G这4个点的位置及测量的准确程度，而与中间的C、D、E各点无关；若使用上述的第二种方法，最后相当于利用⑥式求加速度a，其误差的大小决定于A、D、G这3个点的位置及测量的准确程度，而与中间的B、C、D、E、F各点无关。如果不考虑系统误差，只考虑测量读数时的偶然误差，那么每次测量时的最大允许误差值就是相同的，但第一种方法要测量的是A、B间及F、G间的两个较短的长度，而第二种方法要测量的是A、D间及D、G间的两个较长的长度，因此使用第二种方法求出的加速度值，其相对误差值较小。 按照以上分析，如果只从减小偶然误差的角度考虑问题，利用隔项逐差法测量多个数据，求出多个加速度的值而后求平均值，意义并不大，还不如直接测量A、D、G这3个点的坐标值，利用⑥式求加速度a。 如果再把系统误差考虑在内，情况又如何呢？由于我们使用的打点计时器的准确度不高，再加上电网频率不稳等多种因素，在纸带上打出的点迹就不可能很准确，仅只依赖于A、D、G三个点来求加速度值，误差可能会很大，多利用其他计数点，显然是必要的。但使用前面所述的方法，实质上与使用⑥式相同，仍然达不到目的。 使用下面的隔项二次逐差法可以把更多的测量量都利用上。 设测出一系列相邻计数点的坐标分别为x0、x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，相邻计数点间的时间间隔为T，打x0点时的速度为v0，则有 x1-x0= v0T+aT2/2 x2-x0= 2v0T+a（2T）2/2 x3-x0= 3v0T+a（3T）2/2 x4-x0= 4v0T+a（4T）2/2 x5-x0= 5v0T+a（5T）2/2 x6-x0= 6v0T+a（6T）2/2 x7-x0= 7v0T+a（7T）2/2 x8-x0= 8v0T+a（8T）2/2 第一次逐差，可得出 x5-x1= 4v0T+a（24T2）/2 x6-x2= 4v0T+a（32T2）/2 x7-x3= 4v0T+a（40T2）/2 x8-x4= 4v0T+a（48T2）/2 第二次逐差，可得出 （x7-x3）-（x5-x1）= 8aT2 a1=( x1+x7-x3-x5）/8T2 （x8-x4）-（x6-x2）= 8aT2 a2=( x2+x8-x4-x6）/8T2 
⑦ 这样，除去x0以外，其余的数据都用上了，应该是比较理想的方法。其缺点是过于繁琐，它表现在两个方面：一是在原理的讲解上，即上述推导⑦式的过程比较复杂，在课堂上讲解要占用较长的时间，学生接受起来也有一定的困难；另一方面是计算过程比较繁，需要处理的数据比较多。但在21世纪即将到来的今天，计算机技术已经高度发展，并且在我国已相当普及，利用计算机处理这些数据，是非常容易和准确的，因此在条件允许的学校，不妨对这种隔项二次逐差法作些实验或推广。 另一种用图象处理数据的方法好可以应用到这个实验中。具体作法是使用同一把刻度尺同时测量出各计数点的位置坐标，再分别求出各相邻计数点间的位移值，并把它们分别标注在s-t直角坐标系上，剔除个别偏离过大的、超出误差范围的错误点，作一条过原点的直线，使其他各点尽量均匀地分布在该直线两旁，求出该直线的斜率，即为加速度a的值。
最终答案：略
解题过程：
“逐差法”与实验测量数据的有效利用 物理学是一门以实验为基础的科学，准确记录及有效利用物理实验中的测量数据，具有非常重要的意义。在高中物理教学中，学生实验“利用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度”，在处理数据时用到“逐差法”，该实验对提高学生的实验素养、实验能力等有其特殊作用。 1．关于“逐差法”的原理 一般来讲，如果物理量y是x的n次幂函数，并且控制自变量x作等间距变化，则y的n次逐差是一个常量。例如在匀变速直线运动中，质点的位置x是时间t的二次幂函数，即 x1= x0+ v0t+at2/2 ① 式中x0、v0、a分别是t=0时的位置（初位置）、速度（初速度）及运动过程中的加速度，如果每隔相等的时间间隔T测量一次质点的位置，则可得到一系列x的值，即 x1= x0+ v0T+aT2/2 x2= x0+ v02T+a（4T2）/2 x3= x0+ v03T+a（9T2）/2 …… xn= x0+ v0nT+a（n2T2）/2 把相邻的x值依次相减（称为x的一次逐差），得到各段时间T内的位移值，即 s1= x1-x0= v0T+aT2/2 s2= x2-x1= v0T+a（3T2）/2 s3= x3-x2= v0T+a（5T2）/2 …… 再把相邻各s值依次相减（称为x的二次逐差），得到 Δs1= s2-s1= aT2 Δs2= s3-s2= aT2 …… Δsn= sn+1-sn= aT2 可以看出Δsn是常量，并由此可求出
② 我们的实验就是利用打点计时器在纸带上打出一系列点迹（每隔0.02s打一个点），如下图所示，在纸带上可测各x的值，或直接测量各段位移s的值（由于中学课本不讲位置x与时间t的关系，因此课本上采用的是直接测量位移s的值的方法），并根据Δsn是否是常量来判断该运动是不是匀变速直线运动，如果是匀变速直线运动，则可利用上面的②式来求加速度的值。 2．采用隔项逐差，充分有效地利用测量数据 实际实验时，为尽量减少偶然误差带来的影响，一般采取多次测量而后取平均值的方法，以上面图示的纸带为例，共有A、B、C、D、E、F、G七个计数点，分别测量出两相邻计数点间的位移值s1、s2、……sn，并利用②式求出多个加速度的值，得到 …… 平均值 ③ 不难看出，在最后结果中，只有两端的2个数据是有用的，而中间的数据都没有用上，这显然是违背初衷的。 第二种方法，即隔项逐差法，具体作法是把上述所测的数据分成两组，交叉相减，分别求a值，再求它们的平均值，得 平均值 ④ 可以看出，第二种方法把所有数据都用上了。由于每个测量数据在读取时都难免有偶然误差，而偶然误差的特点是偏大与偏小的概率相等，测量的数据趋于无穷多时，偶然误差的总和也趋于零。因此这两种方法相比较，隔项逐差法更为合理。 但这种分别测量各段时间内的位移的方法并不好，因为用一把刻度尺测量某一段长度时，读数的偶然误差并不只是由于末端的读数估计值而产生的，起始端与刻度尺的某刻线是否对齐也是靠估计的。在实际操作时，往往要多次移动刻度尺的位置，每次都要读取两端的数据，这样既不方便，又容易出现较大误差甚至读数错误。因此在实际实验时一般采用直接读取每个计数点的位置坐标的方法，即用同一把刻度尺同时测量各计数点与任一点O的距离。如前面图中的x1、x2、…… x6，就是各计数点的位置坐标，再利用位置坐标计算各段位移时，由于刻度尺某刻线是否与O点对齐而产生的误差值就完全可以互相抵消了。 用计数点位置坐标表示，③④两式分别变为下面的⑤⑥两式 ⑤ ⑥ ⑤式与③式反映的物理意义是相同的，都是利用FG间的距离与AB间的距离的差去求加速度，⑥式与④式也是如此，它们是利用DG间的距离与AD间的距离的差去求加速度。 下面再进一步从误差的角度讨论一下，若使用上述的第一种方法，最后相当于利用⑤式求加速度a，其误差的大小决定于A、B及F、G这4个点的位置及测量的准确程度，而与中间的C、D、E各点无关；若使用上述的第二种方法，最后相当于利用⑥式求加速度a，其误差的大小决定于A、D、G这3个点的位置及测量的准确程度，而与中间的B、C、D、E、F各点无关。如果不考虑系统误差，只考虑测量读数时的偶然误差，那么每次测量时的最大允许误差值就是相同的，但第一种方法要测量的是A、B间及F、G间的两个较短的长度，而第二种方法要测量的是A、D间及D、G间的两个较长的长度，因此使用第二种方法求出的加速度值，其相对误差值较小。 按照以上分析，如果只从减小偶然误差的角度考虑问题，利用隔项逐差法测量多个数据，求出多个加速度的值而后求平均值，意义并不大，还不如直接测量A、D、G这3个点的坐标值，利用⑥式求加速度a。 如果再把系统误差考虑在内，情况又如何呢？由于我们使用的打点计时器的准确度不高，再加上电网频率不稳等多种因素，在纸带上打出的点迹就不可能很准确，仅只依赖于A、D、G三个点来求加速度值，误差可能会很大，多利用其他计数点，显然是必要的。但使用前面所述的方法，实质上与使用⑥式相同，仍然达不到目的。 使用下面的隔项二次逐差法可以把更多的测量量都利用上。 设测出一系列相邻计数点的坐标分别为x0、x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，相邻计数点间的时间间隔为T，打x0点时的速度为v0，则有 x1-x0= v0T+aT2/2 x2-x0= 2v0T+a（2T）2/2 x3-x0= 3v0T+a（3T）2/2 x4-x0= 4v0T+a（4T）2/2 x5-x0= 5v0T+a（5T）2/2 x6-x0= 6v0T+a（6T）2/2 x7-x0= 7v0T+a（7T）2/2 x8-x0= 8v0T+a（8T）2/2 第一次逐差，可得出 x5-x1= 4v0T+a（24T2）/2 x6-x2= 4v0T+a（32T2）/2 x7-x3= 4v0T+a（40T2）/2 x8-x4= 4v0T+a（48T2）/2 第二次逐差，可得出 （x7-x3）-（x5-x1）= 8aT2 a1=( x1+x7-x3-x5）/8T2 （x8-x4）-（x6-x2）= 8aT2 a2=( x2+x8-x4-x6）/8T2 ⑦ 这样，除去x0以外，其余的数据都用上了，应该是比较理想的方法。其缺点是过于繁琐，它表现在两个方面：一是在原理的讲解上，即上述推导⑦式的过程比较复杂，在课堂上讲解要占用较长的时间，学生接受起来也有一定的困难；另一方面是计算过程比较繁，需要处理的数据比较多。但在21世纪即将到来的今天，计算机技术已经高度发展，并且在我国已相当普及，利用计算机处理这些数据，是非常容易和准确的，因此在条件允许的学校，不妨对这种隔项二次逐差法作些实验或推广。 另一种用图象处理数据的方法好可以应用到这个实验中。具体作法是使用同一把刻度尺同时测量出各计数点的位置坐标，再分别求出各相邻计数点间的位移值，并把它们分别标注在s-t直角坐标系上，剔除个别偏离过大的、超出误差范围的错误点，作一条过原点的直线，使其他各点尽量均匀地分布在该直线两旁，求出该直线的斜率，即为加速度a的值。最终答案：略