搜狗做题网怎样用交比证明梅内劳斯定理?
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/24 12:05:34
怎样用交比证明梅内劳斯定理?
一条直线l与三角形ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z,则有
（AX/BX)*(BY/CY)*(CZ/AZ)=1
一条直线l与三角形ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z,则有
（AX/BX)*(BY/CY)*(CZ/AZ)=1
图你自己有了,我就省略了.
分析：设法引辅助线（平行线）将求证中所述线段集中到同一直线上进行求证.
证明：过B引BG//EF,交AC于G,由平行线截线段成比例性质知：
所以 BD/DC=GE/EC,AF/FB=AE/EG,BD/DC.CE/EA.AF/FB=GE/EC.CE/EA.AE/EG=1
或本题也可以过C引CG//EF交AB延长线于G,将求证中所述线段集中到边AB所在直线上进行求证
再问： 我说的是 用交比证明 你这个是初等几何的方法吧
再答： 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 证明三 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四 连接BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看! 不知道你所要了解的是不是交比 射影几何学，对这方面我了解也仅限于此！
分析：设法引辅助线（平行线）将求证中所述线段集中到同一直线上进行求证.
证明：过B引BG//EF,交AC于G,由平行线截线段成比例性质知：
所以 BD/DC=GE/EC,AF/FB=AE/EG,BD/DC.CE/EA.AF/FB=GE/EC.CE/EA.AE/EG=1
或本题也可以过C引CG//EF交AB延长线于G,将求证中所述线段集中到边AB所在直线上进行求证
再问： 我说的是 用交比证明 你这个是初等几何的方法吧
再答： 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 证明三 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四 连接BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看! 不知道你所要了解的是不是交比 射影几何学，对这方面我了解也仅限于此！