已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y);
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 15:24:14
已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y);
③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(1),f(3)的值.
(2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式. (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.
③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(1),f(3)的值.
(2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式. (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.
(1):∵f(2)=f(2×1)=f(2)•f(1),又f(2)=2,∴f(1)=1.又∵f(4)=f(2•2)=f(2)•f(2)=4,2=f(2)<f(3)<f(4)=4,且f(3)∈N.∴f(3)=3.
(2)由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3猜想f(n)=n(n∈N).
(3)用数学归纳法证明:
①当n=1时,f(1)=1,函数解析式成立;
②假设n≤k时,f(k)=k,函数解析式成立;
(i)若k+1=2m(m∈N),f(k+1)=f(2m)=f(2)•f(m)=2m=k+1.
(ii)若k+1=2m+1(m∈N),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)•f(m+1)=2(m+1)=2m+2,2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2.∴f(2m+1)=2m+1=k+1.
即n=k+1时,函数解析式成立.
综合①②可知,f(n)=n(n∈N)成立.
(2)由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3猜想f(n)=n(n∈N).
(3)用数学归纳法证明:
①当n=1时,f(1)=1,函数解析式成立;
②假设n≤k时,f(k)=k,函数解析式成立;
(i)若k+1=2m(m∈N),f(k+1)=f(2m)=f(2)•f(m)=2m=k+1.
(ii)若k+1=2m+1(m∈N),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)•f(m+1)=2(m+1)=2m+2,2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2.∴f(2m+1)=2m+1=k+1.
即n=k+1时,函数解析式成立.
综合①②可知,f(n)=n(n∈N)成立.
已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y);
已知函数f(x)(x∈N*)满足:f(1)=2,f(n+1)=3*f(n)/[f(n)+1],画出输入n的值输出f(n)
设函数f(x)满足f(n+1)={2f(n)+n}/2,(n∈正整数),且f(1)=2,那么f(20)=?
已知函数y=f(n),满足f(1)=8,且f(n+1)=f(n)+7,n∈N+,求f(2),f(3)
已知函数y=f(n),满足f(2)=4,且f(n)=nf(n-1),n属于N+.求:f(3),f(4),f(5)
对任意实数x、y,函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,则对负整数n,f(n)的表
已知函数f(x)满足f(1)=1,且对任意正整数n都有f(1)+f(2)+…+f(n)=n2f(n),则2015•f(2
已知定义在N*上的函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=f(x)+5,则f(100)=
已知定义在(0,正无穷)上的函数y=f(x)满足下列条件1f(xy)=f(X)+f(Y) 2若0
已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,对任意n∈N*都有f[f(n)]=3n,且f(x)是增函数,则f(3)=___
设定义在N上的函数f(x)满足f(n)=n+13(n≤2000)f[f(n−18)](n>2000)
已知定义域为0到正无穷的函数f(x),同时满足条件:f(2)=1,f(6)=4,f(xy)=f(x)+f(y),求f(3