一个数所有奇数位数之和与所有偶数位数之和的差是11的倍数,这个数就能被11整除,为什么呢?

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 00:54:28

设这个数为y=x1x2……xn(上面有一划)
则y=10^(n-1)x1+10^(n-2)x2+……+xn
若n为偶数
y=(10^(n-1)+1)x1+(10^(n-3)+1)x3+……+(10+1)x(n-1)-(x1+x3+……+x(n-1))
+(10^(n-2)-1)x2+(10^(n-4)-1)x4+……+(10^2-1)x(n-2)+(x2+x4+……+xn)
下面有条定理
若k为偶数,则x+1整除x^(2k+1)+1,x+1整除x^(2k)-1
【简单证明一下：
x^(2k+1)+1=(x+1)(x^(2k)-x^(2k-1)+x^(2k-2)-……-x+1) (这个乘开来算一下,易知是对的)
设x^(2k)-1=(x^p+1)(x^q-1)
若p是奇数,则证毕(刚证过x+1整除x^p+1)
若p是偶数,因为pq=2k,所以q是偶数,再讲x^q-1因式分解,
经过有限步必能找到因子x^(qn)+1(qn是奇数),则证毕】
现在取x=10,那么11整除(10^(n-1)+1)x1,(10^(n-3)+1)x3,……,(10+1)x(n-1)
11也整除(10^(n-2)-1)x2,(10^(n-4)-1)x4,……,(10^2-1)x(n-2)
则只要11整除-(x1+x3+……+x(n-1))+(x2+x4+……+xn),y就能被11整除
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除
若n为奇数,道理也是一样的
再问：举个例子
再答：数字61919，奇数位：6+9+9=24 偶数位：1+1=2 24-2=22是11的倍数…… 所以61919就是11的倍数啦……
再问：奇数位指的是什么？
再答： 61919总共有5位（是一个5位数）奇数位就是第1、3、5、7、……、（2n+1）位偶数位就是第2、4、6、8、……、（2n）位【n为正整数】
再问：用519860列举吧
再答：好吧…… 519860是一个6位数其奇数位分别是5、9、6 偶数位分别是1、8、0 奇数位之和5+9+6=20 偶数位1+8+0=9 差20-9=11 所以……519860能被11整除

一个数所有奇数位数之和与所有偶数位数之和的差是11的倍数,这个数就能被11整除,为什么呢? 为什么奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除编程求在四位数的偶数中,所有各位数字之和是30的倍数的数之和求在四位数的奇数中,所有各位数字之和是25的倍数的数的和求在四位数的偶数中所有各位数字之和是6的倍数的数的和求四位数的偶数中,所有个位数字之和是24的倍数的数的个数求四位数的偶数中,所有各位数字之和是15的倍数的数的和. 求四位数的偶数中,所有各位数字之和是十五的倍数的数的和编写程序,求在四位数的奇数中,所有各位数字之和是25倍数的数的和. 为什么一个数的奇数位与偶数位的相差数是11的倍数,这个数就能被11整除? 一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，并且这个数是11的倍数，则满足这种要求的四位数共有（　　）个. 一个3位数能被13整除,所得的商等于3位数各位数之和.所有满足此条件的3位数之和为多少?