搜狗做题网求一矩阵分析子空间秩的证明题解（用Hamilton-Cayley定理证明）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 22:44:03
求一矩阵分析子空间秩的证明题解（用Hamilton-Cayley定理证明）
求一矩阵分析子空间秩的证明题解：记F[x]是系数在数域F中的关于未定元x的多项式全体之集.假设A是F上的n阶方阵.记F(nxn）的子空间V={f（A）|所有f（x）属于F[x]}.证明：dimV
求一矩阵分析子空间秩的证明题解：记F[x]是系数在数域F中的关于未定元x的多项式全体之集.假设A是F上的n阶方阵.记F(nxn）的子空间V={f（A）|所有f（x）属于F[x]}.证明：dimV
这个题目既然有提示了应该就很明显了.我暂且当你是初学者,帮你多写一些.
对于F上的任何n阶矩阵A,记L(x)=det(xI-A),那么L(x)是A的特征多项式并且也是F上的n次首一多项式.由Cayley-Hamilton定理,L(A)=0.
由于L是首一的,A^n=A^n-L(A),右侧是F上不超过n-1次的多项式.(这一步其实就是移项)
任取F上的多项式f(x)=\sum a_i x^i,那么f(A)=\sum a_i A^i.
当deg(f(x))>n-1时,把f(A)中大于n-1次的项放在一起,提出A^n并用A^n-L(x)代替,这样f(A)就可以用A的不超过det(f(x))-1次多项式来表示,再用归纳法归纳一下就可以得到f(A)可以用A的不超过n-1次的多项式来表示,从而dimV
对于F上的任何n阶矩阵A,记L(x)=det(xI-A),那么L(x)是A的特征多项式并且也是F上的n次首一多项式.由Cayley-Hamilton定理,L(A)=0.
由于L是首一的,A^n=A^n-L(A),右侧是F上不超过n-1次的多项式.(这一步其实就是移项)
任取F上的多项式f(x)=\sum a_i x^i,那么f(A)=\sum a_i A^i.
当deg(f(x))>n-1时,把f(A)中大于n-1次的项放在一起,提出A^n并用A^n-L(x)代替,这样f(A)就可以用A的不超过det(f(x))-1次多项式来表示,再用归纳法归纳一下就可以得到f(A)可以用A的不超过n-1次的多项式来表示,从而dimV
求一矩阵分析子空间秩的证明题解（用Hamilton-Cayley定理证明）
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