搜狗做题网自然数列平方求和公式的其他证明方法
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/03 20:56:08
自然数列平方求和公式的其他证明方法
1∧2+2∧2+3∧2+……+n∧2=［n（n+1）（2n+1）］/6
有没有除了用立方差累加的其他证明方法
1∧2+2∧2+3∧2+……+n∧2=［n（n+1）（2n+1）］/6
有没有除了用立方差累加的其他证明方法
n^2=n(n-1)+n=2c(n,2)+n,
原式=2[c(2,2)+c(3,2)+……+c(n,2)]+(1+2+……+n)
=2[c(3,3)+c(3,2)+……+c(n,2)]+n(1+n)/2
=2c(n+1,3)+n(1+n)/2
=(n+1)n(n-1)/3+n(1+n)/2
=［n（n+1）（2n+1）］/6.
再问： 为什么c(3,3)+c(3,2)+……+c(n,2)=c(n+1,3)
再答： 反复用组合数性质：c(n,m)+c(n,m-1)=c(n+1,m).
原式=2[c(2,2)+c(3,2)+……+c(n,2)]+(1+2+……+n)
=2[c(3,3)+c(3,2)+……+c(n,2)]+n(1+n)/2
=2c(n+1,3)+n(1+n)/2
=(n+1)n(n-1)/3+n(1+n)/2
=［n（n+1）（2n+1）］/6.
再问： 为什么c(3,3)+c(3,2)+……+c(n,2)=c(n+1,3)
再答： 反复用组合数性质：c(n,m)+c(n,m-1)=c(n+1,m).