搜狗做题网求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/14 20:14:20
求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域
如题!
如题!
y=(sinx+α)(cosx+α)=sinxcosx+α（sinx+cosx）+α^2.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2）,则sinxcosx=（t^2-1）/2,∴y=(t^2+2at+2a^2-1)/2=[(t +a )^2]/2+(a^2-1)/2.
⑴当a＞√2时,t=-√2取得最小值,t=√2时取得最大值,值域为：[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].
⑵a＜-√2时,t=√2取得最小值,t=-√2时取得最大值,值域为：[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
⑶当-√2≤a≤√2时,t=-a最小值（a^2-1）/2,最大值是t=±√2函数值较大的一个.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2）,则sinxcosx=（t^2-1）/2,∴y=(t^2+2at+2a^2-1)/2=[(t +a )^2]/2+(a^2-1)/2.
⑴当a＞√2时,t=-√2取得最小值,t=√2时取得最大值,值域为：[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].
⑵a＜-√2时,t=√2取得最小值,t=-√2时取得最大值,值域为：[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
⑶当-√2≤a≤√2时,t=-a最小值（a^2-1）/2,最大值是t=±√2函数值较大的一个.