(2004•江苏)已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/04/29 21:57:59
(2004•江苏)已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,其中λ是大于0的常数,设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-λf(a)
(Ⅰ)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;
(Ⅱ)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2;
(Ⅲ)证明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2.
(Ⅰ)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;
(Ⅱ)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2;
(Ⅲ)证明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2.
证明:(Ⅰ)任取x1,x2⊂R,x1≠x2,则由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]①
和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|②
可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|•|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,
从而λ≤1.
假设有b0≠a0,使得f(b0)=0,则由①式知0<λ(a0-b0)2≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0矛盾.
∴不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.
(Ⅱ)由b=a-λf(a)③
可知(b-a0)2=[a-a0-λf(a)]2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2[f(a)]2④
由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)2⑤
由和②式知,[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2≤(a-a0)2⑥
由⑤、⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2
即不等式(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2得证.
(Ⅲ)由③式可知[f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2
=[f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
≤(b-a)2-2•
b-a
λ[f(b)-f(a)]+[f(a)]2(用②式)
=λ2[f(a)]2-
2
λ(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
≤λ2[f(a)2-
2
λ•λ•(b-a)2+[f(a)]2(用①式)
=λ2[f(a)]2+2λ2[f(a)]2+[f(a)]2
=(1-λ2)[f(a)]2
和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|②
可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|•|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,
从而λ≤1.
假设有b0≠a0,使得f(b0)=0,则由①式知0<λ(a0-b0)2≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0矛盾.
∴不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.
(Ⅱ)由b=a-λf(a)③
可知(b-a0)2=[a-a0-λf(a)]2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2[f(a)]2④
由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)2⑤
由和②式知,[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2≤(a-a0)2⑥
由⑤、⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2
即不等式(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2得证.
(Ⅲ)由③式可知[f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2
=[f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
≤(b-a)2-2•
b-a
λ[f(b)-f(a)]+[f(a)]2(用②式)
=λ2[f(a)]2-
2
λ(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
≤λ2[f(a)2-
2
λ•λ•(b-a)2+[f(a)]2(用①式)
=λ2[f(a)]2+2λ2[f(a)]2+[f(a)]2
=(1-λ2)[f(a)]2
(2004•江苏)已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[
江苏高考题!已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有λ(x1-x2)²≤(x1-x2
已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),试判断
1、定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)满足对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:(1)存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);(2)对任意x∈R,有f
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立,且当x>0时,有f
设函数f(x)是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2都有f(X1+X2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)求f
若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的
函数F(X),X属于R,若对于任意实数X1,X2都有F(X1+X2)+F(X1-X2)=2F(X1)F(X2)求证F(X
已知函数f(x)定义域为{x|x≠0,x∈R}},对定义域的任意x1,x2都有f(x1乘x2)=f(x1)+f(x2)且
定义在R上的函数f(x) (f(x)≠0)满足:对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x>
已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x>0时f(x)>0.