若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”已知按从小到大顺序构成如下列：3

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/12 22:14:41

若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”已知按从小到大顺序构成如下列：3
,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,...则第2013个“智慧数”是 .

任何大于等于3的奇数都是智慧数：
2k+1=(k+1)^2-k^2 其中k>=1,于是2k+1>=3
任何大于等于8的能被4整除的数都是智慧数：
4(k+1)=(k+2)^2-k^2 其中k>=1,于是4(k+1)>=8
除此之外没有其他智慧数了
因为除此外剩下的就是不能被4整除的偶数了,而
(a+k)^2-a^2=2ak+k^2 其中a>=1,k>=1,则2ak+k^2为智慧数
若k为奇数,由于2ak为偶数,k^2为奇数,则智慧数为奇数
若k为偶数,于是2ak和k^2均能被4整除,则智慧数能被4整除
所以智慧数列是由
3,5,7,9,11,………… 和
8,12,16,20,24,…………
从小到大合并而成,即3,5,7,8,9,11,12,…………
设第2003个智慧数是n,则
[(n-3)/2+1]+[(n-8)/4+1]=2003
其中[..]表示不超过..的最大正整数
[(n-3)/2+1]表示3到n的正整数个数
[(n-8)/4+1]表示8到n的能被4整除的正整数个数
解方程得 n=2673