搜狗做题网定积分题,
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 22:18:26
定积分题,
已知：抛物线y^2=2px,（p>0)
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]