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已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,H是点A在平面SBC上的射影,求证.H不可能是△SBC的垂心

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 07:54:38
已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,H是点A在平面SBC上的射影,求证.H不可能是△SBC的垂心
已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,H是点A在平面SBC上的射影,求证.H不可能是△SBC的垂心
证明:假设H是△SBC的垂心,连接BH,并延长交SC于D点,则BH⊥SC
∵AH⊥平面SBC,
∴BH是AB在平面SBC内的射影
∴SC⊥AB(三垂线定理)
又∵SA⊥底面ABC,AC是SC在面内的射影
∴AB⊥AC(三垂线定理的逆定理)
∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立.
故H不可能是△SBC的垂心.