搜狗做题网证明√2是无理数的证明过程中P、Q为什么要互质?
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 05:42:04
证明√2是无理数的证明过程中P、Q为什么要互质?
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)…………………………为什么要互质
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项,得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)…………………………为什么要互质
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项,得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
我帮你解答(我的过程在几何原本里面有)
假设根号2是有理数,则有根号2=P/Q(这是有理数的定义)
其中,P/Q互质
则有P^2/Q^2=2
P^2=2Q^2
只有2的倍数的平方才是偶数
所以P是偶数
令P=2S
则有4s^2=2Q^2
2S^2=Q^2
同理,Q也是偶数
既然P.Q都是偶数,与原来的P.Q互质矛盾!(这句是关键）
则根号2不是有理数.
所以是无理数
再问： 我还是不明白我什么一定要互质，像2/4不互质，不也是有理数吗
再答： 通俗来说，互质的话有利于题目的证明，就好比你说的2/4那么他是=1/2,2是偶数可1不是啊
假设根号2是有理数,则有根号2=P/Q(这是有理数的定义)
其中,P/Q互质
则有P^2/Q^2=2
P^2=2Q^2
只有2的倍数的平方才是偶数
所以P是偶数
令P=2S
则有4s^2=2Q^2
2S^2=Q^2
同理,Q也是偶数
既然P.Q都是偶数,与原来的P.Q互质矛盾!(这句是关键）
则根号2不是有理数.
所以是无理数
再问： 我还是不明白我什么一定要互质，像2/4不互质，不也是有理数吗
再答： 通俗来说，互质的话有利于题目的证明，就好比你说的2/4那么他是=1/2,2是偶数可1不是啊