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已知平面内点P(x,y)满足不等式(x+2y-1)(x-y+3)≥0,求x2+y2的最小值.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/07 15:42:44
已知平面内点P(x,y)满足不等式(x+2y-1)(x-y+3)≥0,求x2+y2的最小值.
已知平面内点P(x,y)满足不等式(x+2y-1)(x-y+3)≥0,求x2+y2的最小值.
不等式(x+2y-1)(x-y+3)≥0等价为

x+2y−1≥0
x−y+3≥0或

x+2y−1≤0
x−y+3≤0,
作出二元一次不等式组对应的平面区域如图:
设z=x2+y2,则z的几何意义为区域内的点P(x,y)到原点的距离的平方,
由图象可知,OP的最短距离为圆心O到直线x+2y-1=0的距离,
此时d=
|−1|

12+22=
1

5,
则z的最小值为d2=
1
5,
即x2+y2的最小值为
1
5.