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如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,求证平面PAB⊥PBC

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 19:26:32
如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,求证平面PAB⊥PBC
如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,求证平面PAB⊥PBC

如图,我们作AG垂直AB于G点,作GH垂直PB交PC于H点,连接AH.作AI垂直PC,连接IG,角AGH,就是平面PAB和平面PBC的夹角,过H作HJ垂直AC.设AB=1,那么PA=2,容易求出AC=√3,在直角三角形PAB中,PB=√5,AG=2√5/5,PG=4√5/5.因为PA垂直ABC平面,那么,PA垂直AC,所以PAC为直角三角形,r所以PC=√7,所以AI=2√21/7.PI=4√7/7根据三垂线定理,可得GI垂直PC.而GH垂直PB.所以有三角形PGH相似三角形PIG,所以有PI/PG=PG/PH,所以PH=4√7/5,所以GH=4√2/5.因为HJ垂直AC,所以PA∥HJ.所以三角形PAC∽三角形HJC.所以PH/PC=AJ/AC.代入可得AJ=4√3/5.CH/PC=HJ/PA,所以HJ=2/5,所以AH=√52/5.三角形AGH中,AG=2√5/5,AH=√52/5,GH=4√2/5,根据勾股定理,AH²=AG²+GH²,所以角AGH为直角.所以平面PAB⊥PBC.