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已知函数f(x)=x2+|x+a|+b(x∈R),求证:函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/05 14:51:52
已知函数f(x)=x2+|x+a|+b(x∈R),求证:函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.
已知函数f(x)=x2+|x+a|+b(x∈R),求证:函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.
证:充分性:定义域关于原点对称.∵a=0,∴f(x)=x2+|x|+b,∴f(-x)=(-x)2+|-x|+b=x2+|x|+b,
∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
必要性:∵f(x)是偶函数,则对任意x有f(-x)=f(x),
得(-x)2+|-x+a|+b=x2+|x+a|+b,即|x-a|=|x+a|,
∴a=0.
综上所述,原命题得证.