已知函数f(x)＝lnx−12ax2+(a−1)x（a∈R且a≠0）．

已知函数f(x)＝lnx−

1

2

ax

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）
由已知得，f′(x)＝
1
x−ax+a−1＝−
a(x−1)(x+
1
a)
x．…（2分）
（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）
（2）当a＜0时，
①当−
1
a＜1时，即a＜-1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜−
1
a或x＞1；
令f'（x）＜0，解得−
1
a＜x＜1．
所以，函数f（x）在(0，−
1
a)和（1，+∞）上单调递增，在(−
1
a，1)上单调递减；…（4分）
②当−
1
a＝1时，即a=-1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（5分）
③当−
1
a＞1时，即-1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞−
1
a；
令f'（x）＜0，解得1＜x＜−
1
a．
所以，函数f（x）在（0，1）和(−
1
a，+∞)上单调递增，在(1，−
1
a)上单调递减．…（6分）
综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）当a＜-1时，函数f（x）在(0，−
1
a)和（1，+∞）上单调递增，在(−
1
a，1)上单调递减；
（3）当a=-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当-1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和(−
1
a，+∞)上单调递增，在(1，−
1
a)上单调递减．…（7分） 
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y1＝lnx1−
1
2ax12+(a−1)x1，y2＝lnx2−
1
2ax22+(a−1)x2．
kAB＝
y2−y1
x2−x1=
(lnx2−lnx1)−
1
2a(x22−x12)+(a−1)(x2−x1)
x2−x1
=
lnx2−lnx1
x2−x1−
1
2a(x1+x2)+(a−1)…（8分）
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=f'（x₀）=f′(
x1+x2
2)=
2
x1+x2−a•
x1+x2
2+(a−1)，…（9分）
依题意得：
lnx2−lnx1
x2−x1−
1
2a(x1+x2)+(a−1)=
2
x1+x2−a•
x1+x2
2+(a−1)．
化简可得：
lnx2−lnx1
x2−x1=
2
x1+x2，
即ln
x2
x1=
2(x2−x1)
x2+x1=
2(
x2
x1−1)

x2
x1+1．…（11分）
设
x2
x1＝t（t＞1），上式化为：lnt＝
2(t−1)
t+1＝2−
4
t+1，
即lnt+
4
t+1＝2．…（12分）
令g(t)＝lnt+
4
t+1，g′(t)＝
1
t−
4
(t+1)2=
(t−1)2
t(t+1)2．
因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+
4
t+1＝2成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）