搜狗做题网已知函数f(x)＝1+lnxx
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/05 03:15:21
已知函数f(x)＝
| 1+lnx |
| x |
（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝−
lnx
x2，
令f′(x)＝−
lnx
x2＝0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间(
a
2，a+
1
2)上存在极值，所以
a
2＜1＜a+
1
2，解得
1
2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（
1
2，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+
2
x(2−x)＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此b＝
1
2．
lnx
x2，
令f′(x)＝−
lnx
x2＝0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间(
a
2，a+
1
2)上存在极值，所以
a
2＜1＜a+
1
2，解得
1
2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（
1
2，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+
2
x(2−x)＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此b＝
1
2．